《1.5.1曲邊梯形的面積》教學設計

吳俊英

摘 要：定積分是微積分教學的重要組成部分，而曲邊梯形面積的求解過程是定積分概念的核心內容. 本文通過實例分析介紹曲邊梯形面積求解的教學設計，解析教學過程中的重點與難點，并通過課堂教學后的總結與反思，進一步提出曲邊梯形面積求解教學過程的優化改進思路，從而為高中數學教學提供有益借鑒.

關鍵詞：定積分；曲邊梯形；面積求解

課程介紹

《曲邊梯形的面積》選自人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修2-2第一章第五節第一課時的內容. 定積分的思想方法是高等數學里的重要思想方法，是微積分的重要組成部分，在求解不規則圖形的面積、變速運動的路程、變力做功等問題方面有著廣泛的應用. 而求解曲邊梯形面積的過程與思想恰恰是定積分概念的核心內容，所以本節課在定積分的學習中有著至關重要的地位和作用.

[?] 教學目標分析

1. 知識與技能目標

（1）知道曲邊梯形的概念，通過實例了解求曲邊梯形面積的過程，初步感受“以直代曲”與逐步逼近的數學思想方法，為今后學習定積分的概念做準備；

（2）初步掌握求曲邊梯形面積的方法步驟：“分割、近似代替、求和、取極限”；

（3）培養分析與綜合、抽象與概括的能力，以及進行復雜運算的能力.

2. 過程與方法目標

（1）經歷求曲邊梯形面積的過程，借助幾何直觀體會“以直代曲”及“無限逼近”的思想；

（2）體驗從特殊到一般、從具體到抽象的探究過程.

3. 情感、態度與價值觀目標

（1）認同“有限與無限的對立統一”的辯證觀點；

（2）經歷解決問題的全過程，感受成功的樂趣，提高刻苦鉆研數學問題的積極性.

教學重點、難點解析

重點：直觀體會定積分的基本思想方法：“以直代曲”、“無限逼近”的思想；

初步掌握求曲邊梯形面積的方法步驟——“四部曲”（即：分割、近似代替、求和、取極限）.

難點：“以直代曲”、“無限逼近”思想的形成過程及理解.

教學設計分析

（一）情景設置，問題引入

問題一：人們在社會實踐和生產活動中有時會遇到一些圖形面積計算的問題，史料表明，由于測量田地面積的需要，古埃及人很早就能正確計算矩形、三角形、梯形的面積. 我們會求正方形、三角形、平行四邊形、梯形等“直邊圖形”的面積，現實生活中遇到的大量“曲邊圖形”，如何求“曲邊圖形”的面積？比如求泉州市面積.

問題二：該戶型圖有些邊是曲線，有些邊是直線，又如何測量該房屋的面積？

設計意圖：體現了數學來源于生活，數學又應用于生活. 引導學生認識到平面圖形分成“直邊圖形”和“曲邊圖形”. 用網格法求面積時邊緣往往是不規則的圖形，引出曲邊梯形及求曲邊梯形的面積問題.

學情預設：帶著問題走進課堂，誘發學生的好奇心，激發學生的學習興趣和求知欲望.

（二）新課教學，合作探究

定義：由直線x=a，x=b（a≠b），x軸與曲線y=f（x）所圍成的圖形稱為曲邊梯形.

設計意圖：了解曲邊梯形的結構特征.

學情預設：揭示“直邊圖形”和“曲邊圖形”的本質聯系，得出曲邊梯形的定義.

探究1：對于由y=x2與x軸及x=1所圍成的平面圖形面積該怎樣求？

（該圖形為曲邊三角形，是曲邊梯形的特殊情況）

設計意圖：先考慮特殊的曲邊梯形面積，符合學生的認知規律. 由簡單到復雜也有助于學生思維的構建和方法的形成.

學情預設：教師引導學生回顧劉微的“割圓術”求圓的面積的“以直代曲”和無限“逼近”思想. 體現化歸的數學方法. 在學生已有知識的基礎上，提出解決方案，歸納學生的方案.

探究2：能否直接對整條曲邊進行“以直代曲”呢？為什么？

設計意圖：類比求圓面積方法，啟發學生思維活動. 讓學生意識到該作法存在缺陷.

學情預設：學生討論，交流得出結論：可能導致誤差過大.

探究3：怎樣才能盡量減小誤差？怎樣分割？分成怎樣的形狀？分割成多少個？（分割）

設計意圖：循序漸進，因勢利導，引導學生尋求減小誤差的方法途徑.

學情預設：學生提出自己的看法，同伴之間進行交流、合作. 教師利用多媒體課件演示.

探究解決途徑：在局部小范圍內“以直代曲”.

探究4：對每個小曲邊梯形如何“以直代曲”？采用哪種好？（近似代替）

設計意圖：引導學生選用恰當的方法作近似代替：小曲邊梯形面積（曲邊圖形）化歸為小矩形面積（直邊圖形）.

學情預設：引導學生回憶平行四邊形面積的求法，用“割補法”轉化為矩形求解；學生可能提出多種“以直代曲”的方案.教學中，組織學生討論、分析各種方案的利弊及可操作性（常見三種方案）.

探究5：如何求分割后曲邊梯形面積的近似值.（求和）

設計意圖：分配學生任務，分組合作，嘗試計算三種近似代替的結果. 培養學生的合作交流的能力，優化解題方案.

學情預設：計算難度大（忽略計算過程，對于用到的計算公式加以簡單說明）. 由教師示范方案（1）的計算過程.把學生分成兩組，分別以方案（2）、方案（3）按上述四個步驟重新計算曲邊三角形的面積，并將操作過程和計算結果與方案一進行比較.

探究6：如何從曲邊梯形面積的近似值求出曲邊梯形的面積？（取極限）

步驟一、計算前先用幾何畫板動態演示當n增大時矩形面積和與曲邊梯形面積逼近情況.

步驟二、計算出結果后再用幾何畫板以表格的形式計算當n增大時，矩形面積和的值的變化趨勢.

設計意圖：步驟一從幾何角度直觀感知、體會“無限逼近”思想，主要是先讓學生從圖形上直觀感知“分割—近似—求和—取極限”的必要性和可行性，從而盡可能消除學生的顧慮；步驟二結合三種計算結果，從代數角度進一步詮釋“無限逼近”思想，為了驗證結果的可靠性，用數據說話，使學生信服.不管是利用圖形還是利用數據，都可以將取極限這個抽象的過程具體、形象、一步一步地呈現出來，有助于學生的理解.體現數形結合的數學方法.

學情預設：學生觀察幾何畫板演示，注意觀察近似值的變化趨勢：

（1）在不足近似中，隨著n的增大，近似值逐漸增大，并趨近實際面積.

（2）在過剩近似中，隨著n的增大，近似值逐漸減小，并也趨近實際面積.

通過兩種近似代替的探究，形成左右夾逼，都趨于同一個值，讓學生“心悅誠服”地認識到有極限的方法可以消除用 “以直代曲”的方法計算圖形的面積所帶來的誤差.

的函數值f（ξ）為高，會有怎樣的結果？

設計意圖：認識到近似代替的方式不唯一性，循序漸進，有助于發散學生思維空間. 為定積分概念做初步鋪墊.

學情預設：學生發表自己的看法，類比書中的方法，進行思考、討論、歸納、總結. 得出S=f（ξi）=.

探究8：由直線x=a，x=b（a≠b），x軸與曲線y=f（x）所圍成的圖形稱為曲邊梯形的面積應如何求？

設計意圖：通過類比，得到一般曲邊梯形的面積表達，解決本課開始提出的問題，起到前后呼應的作用. 體現由特殊上升到一般、由具體到抽象的認識提升. 同時進一步為定積分概念做鋪墊.

學情預設：由學生觀察、交流，類比：為[0，1]等分后的小區間長度.從而得出：

（三）實戰演練，鞏固新知

練習：求直線x=0，x=2，y=0與曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積.

設計意圖：培養學生自覺運用新知、方法的能力.

學情預設：教師巡視，實物展示，加以點評.

（四）小結反思，深化認識

小結：（1）求曲邊梯形面積的思想方法是什么？

（2）具體的步驟是什么？

設計意圖：歸納總結本課所學的知識和思想方法.起到在認識上進一步深化、升華.

學情預設：以學生敘述為主.不足之處，教師加以補充.

（五）課后作業，鞏固提升

補充：求直線x=1，x=4，y=0與曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積.

設計意圖：鞏固提高，拓展延伸.

課后反思

本節課通過探求曲邊梯形的面積，使學生了解了定積分的實際背景，并借組幾何直觀體會“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立定積分概念的認識基礎，為理解定積分的概念及幾何意義奠定基礎.

“曲邊梯形的面積”的內容與解法對學生都是全新的，富有挑戰性，學生學習積極性很高，但不具備解決問題的辦法. 如何啟發學生“以直代曲”，進而作和是上好這節課的關鍵. 在研究曲線上點P處的切線問題時，隨著點P附近的曲線被漸次放大，會發現曲線在點P附近看上去幾乎成了直線. 因此在點P附近，可以用“直線”代替曲線. 同樣，將曲邊梯形分割成小曲邊梯形（當然可以任意小），可以用“直邊”來代替曲邊，即在很小范圍內“以直代曲”.

本節課的另一個難點在推理論證環節，通過分割、近似代替、求和三步之后，又面臨一個求極限的問題，由于新課標教材對求極限的內容不做要求，在課堂上有效地利用多媒體技術，前串后連，突破時空局限，使課堂上無法完成的內容得以呈現，大大節省教學時間.

教學的藝術不在于傳授本領而在于激勵、喚醒、鼓舞，在教學過程中，不但要傳授學生的課本知識，更要培養學生的數學學習能力，在本節課的開始，從學生已知的圖形的面積出發轉到曲邊三角形學生未知的圖形面積，學生的求知欲被調動起來.在教學過程中，教師應利用教材提供的內容讓學生思考、討論、合作交流，替學生創設一個寬松、和諧的課堂氣氛，激發學生探究的欲望. 在教學過程中讓學生多動手，多動腦，多猜想，三種方案只要學生想到其中一種，就給予及時的表揚，在學習過程中，多提供讓學生體驗成功的快樂的機會，讓學生在學習的過程中享受數學的美.