數(shù)學(xué)知識(shí)社會(huì)學(xué)下學(xué)習(xí)理論框架新觀

單妍炎，黃秦安

(1.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710119； 2.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

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數(shù)學(xué)知識(shí)社會(huì)學(xué)下學(xué)習(xí)理論框架新觀

單妍炎1,2，黃秦安1

(1.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710119； 2.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

摘要：數(shù)學(xué)知識(shí)社會(huì)學(xué)的發(fā)展，奠定了數(shù)學(xué)知識(shí)新形式在數(shù)學(xué)教育中的重要地位。隱性知識(shí)根植于先前經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)認(rèn)知向深層水平的發(fā)展。在知識(shí)的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，數(shù)學(xué)語(yǔ)言及修辭起到橋梁的作用。通常以顯性知識(shí)形式出現(xiàn)的結(jié)晶體概念，代表了數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論的更高發(fā)展水平。這三種力量的交織和平衡，形成了一個(gè)動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)理論框架。在數(shù)學(xué)知識(shí)社會(huì)學(xué)的影響下，整合與連結(jié)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論發(fā)展的自然選擇和努力方向。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)知識(shí)社會(huì)學(xué)；數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；先前經(jīng)驗(yàn)；隱性知識(shí)；整合；平衡；連結(jié)

近百年來(lái)，人類對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)與社會(huì)或文化中其他因素關(guān)系的研究從未停止。長(zhǎng)期以來(lái)的數(shù)學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)中的擬經(jīng)驗(yàn)主義(Quasi-empiricism)，都關(guān)注于實(shí)際操作和使用相同假設(shè)的數(shù)學(xué)共同體。20世紀(jì)60、70年代，尤金·維格納(Eugene Wigner)和希拉里·普特南(Hilary Putnam)對(duì)“數(shù)學(xué)和物理這兩個(gè)領(lǐng)域，為什么能如此一致”的問(wèn)題都提出了重要見(jiàn)解。他們認(rèn)為數(shù)學(xué)思想的基本組成部分，包括空間、形式結(jié)構(gòu)、數(shù)和比例關(guān)系等也是物理的基本要素。作為科學(xué)知識(shí)社會(huì)學(xué)(SSK)的創(chuàng)始人之一，大衛(wèi)·布魯爾(David Bloor)吸收維特根斯坦和同時(shí)代其他哲學(xué)家的思想，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)社會(huì)學(xué)作出重要貢獻(xiàn)。他們認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)是社會(huì)的建構(gòu)，且有不可復(fù)原的偶然性和歷史因素融合其中。作為SSK的一部分，數(shù)學(xué)知識(shí)社會(huì)學(xué)有自己的獨(dú)特性特征。直到20世紀(jì)90年代，英國(guó)數(shù)學(xué)哲學(xué)家鮑爾·歐內(nèi)斯特(Paul Ernest)才圍繞顯性知識(shí)、隱性知識(shí)及其相互關(guān)系，構(gòu)建起數(shù)學(xué)知識(shí)的社會(huì)建構(gòu)主義框架。

一、數(shù)學(xué)知識(shí)的新形式

數(shù)學(xué)中的隱性知識(shí)、特定領(lǐng)域知識(shí)以及語(yǔ)言，在數(shù)學(xué)知識(shí)觀理論中不斷發(fā)力而引起人們的持續(xù)關(guān)注。這些數(shù)學(xué)知識(shí)的新形式與以下三個(gè)發(fā)展背景密不可分：(1)數(shù)學(xué)真理與其語(yǔ)境脈絡(luò)相關(guān)聯(lián)，并且部分地依賴于歷史偶然性，這促使人們重新審視數(shù)學(xué)中證明的作用和目的。(2)數(shù)學(xué)共同體的組織和結(jié)構(gòu)，與數(shù)學(xué)知識(shí)的生成和檢驗(yàn)密不可分，同時(shí)也是隱性知識(shí)(Tacit Knowledge)應(yīng)用與傳播的中心場(chǎng)所。(3)人們對(duì)數(shù)學(xué)交流的行為和表現(xiàn)給予了更多的關(guān)注。[1](P67~83)這些思想相繼產(chǎn)生了一系列有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的形式、數(shù)學(xué)文本的作用和功能、數(shù)學(xué)證明和數(shù)學(xué)教與學(xué)的問(wèn)題。

數(shù)學(xué)知識(shí)觀的生成與演進(jìn)直接影響著人們的數(shù)學(xué)認(rèn)知觀。1979年，斯根普(Skemp,1919—1995)區(qū)分了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中理解的三種類型：工具性理解、關(guān)系性理解和邏輯性理解。工具性理解可以由數(shù)學(xué)方法的隱性內(nèi)容知識(shí)來(lái)解釋，即在完成一項(xiàng)工作時(shí)知道怎樣履行方法和程序。關(guān)系性理解可以部分地通過(guò)顯性內(nèi)容知識(shí)來(lái)解釋，也就是“知其然，知其所以然”。邏輯性理解是對(duì)前兩種理解的超越：不僅要知道怎樣完成一項(xiàng)數(shù)學(xué)任務(wù)，而且知道為什么這種方法有效，同時(shí)在這兩個(gè)層面之上，還能夠用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確地表達(dá)其方法。斯根普的“邏輯理解”概念確立了學(xué)校數(shù)學(xué)中隱性修辭知識(shí)的重要性。人們對(duì)于數(shù)學(xué)認(rèn)知的理解不斷加深。幾乎同時(shí)期，也就是在弗賴登塔爾(Freudenthal，1905—1990)的晚年，他就數(shù)學(xué)認(rèn)知的結(jié)構(gòu)曾表達(dá)了下面的思想。任何時(shí)候，我們只需要關(guān)注兩個(gè)層次：一個(gè)是此時(shí)你所在的，另一個(gè)是你所努力的方向。①同時(shí)，在建構(gòu)主義不同取向的二元對(duì)立中，不論是認(rèn)知的或情境的學(xué)習(xí)觀，還是獲得性或參與性學(xué)習(xí)，只取其一都是危險(xiǎn)的[2](P4~13)[3](P4~15)，找到其平衡點(diǎn)應(yīng)該是我們努力的方向。

二、數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展中的兩類重要關(guān)系

1.結(jié)晶體概念是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的更高層次

數(shù)學(xué)的三個(gè)世界理論始于對(duì)數(shù)學(xué)概念不同類型的研究，是由英國(guó)Warick大學(xué)教授David Tall給出的，可以簡(jiǎn)單概括為具身化、符號(hào)化、形式化。[4](P29~32)對(duì)世界的感知和動(dòng)作是一切認(rèn)知的基礎(chǔ)。感知使我們獲得了對(duì)圖形、空間的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而轉(zhuǎn)換成包括歐幾里得證明在內(nèi)的各種形式的幾何推理；而在諸如計(jì)數(shù)、分組這樣的動(dòng)作中，通過(guò)壓縮數(shù)學(xué)過(guò)程形成了算術(shù)和代數(shù)中的可操作性概念。這兩方面并列地發(fā)展，在較晚的時(shí)期，數(shù)學(xué)思維才可以轉(zhuǎn)換到以公理化定義和數(shù)學(xué)證明為基礎(chǔ)的形式化模式。這三種層次依次發(fā)展，并且越來(lái)越復(fù)雜。結(jié)晶體概念(Crystalline Concept)是數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論的核心概念之一。由于抽象不是數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的終點(diǎn)，從不同的角度可以完成對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的刻畫。抽象知識(shí)的相互轉(zhuǎn)化，使得更高層次的數(shù)學(xué)思維成為可能。也就是說(shuō)，在我們獲得的這三種不同的數(shù)學(xué)思想發(fā)展框架之下，它們擁有一個(gè)共同的基礎(chǔ)。它提供了數(shù)學(xué)思維發(fā)展理論框架的普遍基礎(chǔ)，它把人類思維發(fā)展與數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)起來(lái)，是自身語(yǔ)境中的認(rèn)知結(jié)果。 2011年，Tall根據(jù)越來(lái)越復(fù)雜的知識(shí)系統(tǒng)，把對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)果的分類評(píng)價(jià)法SOLO(Structure of the Observed Learned Outcomes)擴(kuò)充為單點(diǎn)、多點(diǎn)、關(guān)聯(lián)、等價(jià)和結(jié)晶體概念5大結(jié)構(gòu)層次。[5](P3~8)這些等價(jià)的關(guān)系是潛在的結(jié)晶體概念的不同方面，它們使得研究事物本身結(jié)晶化為一個(gè)純粹的抽象對(duì)象。從而,在更高的數(shù)學(xué)思維中，數(shù)學(xué)不只是變得越來(lái)越復(fù)雜，在操作層面上也變得更靈活、簡(jiǎn)潔。結(jié)晶體概念代表了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的更高發(fā)展水平。

2.認(rèn)知發(fā)展的更深水平來(lái)源于先前經(jīng)驗(yàn)

先前經(jīng)驗(yàn)(Met-before)是一種依靠人們以前經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。起積極作用的先前經(jīng)驗(yàn)，我們稱之為支持性(Supportive)的；相反，也有在情境中起消極作用的先前經(jīng)驗(yàn)，我們稱為障礙性 (Problematic)的。同一類先前經(jīng)驗(yàn)在某些情境中可能起到促進(jìn)作用，而在另外一些情境中卻是阻礙性的。[6](P171)先前經(jīng)驗(yàn)在學(xué)習(xí)上不僅能產(chǎn)生積極或消極的作用，同時(shí)對(duì)學(xué)習(xí)情境也產(chǎn)生情感上的反應(yīng)。它與學(xué)習(xí)情感緊密相聯(lián)：一方面，在人們處理遇到的各種語(yǔ)境時(shí)，支持性的先前經(jīng)驗(yàn)給予信心，從成功中獲得快樂(lè)。甚至，它們能夠成為數(shù)學(xué)行為無(wú)意識(shí)功能的一部分，提高我們厘清楚新概念的機(jī)會(huì)，增加完成概念性理解的概率。另一方面，障礙性先前經(jīng)驗(yàn)在厘清新思想時(shí)，阻礙學(xué)習(xí)進(jìn)程，降低學(xué)習(xí)者的自我效能感，產(chǎn)生數(shù)學(xué)焦慮。古有教育名言：“授人以魚(yú)，不如授人以漁”。其凸顯了先前經(jīng)驗(yàn)理論中情感的力量，有了學(xué)習(xí)的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，我們?cè)谡J(rèn)知的道路上才能走得更遠(yuǎn)。

三、動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)理論框架建構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)社會(huì)學(xué)理論代表人物歐內(nèi)斯特的哲學(xué)思想，主要來(lái)源于后期維特根斯坦關(guān)于語(yǔ)言的思想和可誤主義(Fallibilist)。歐內(nèi)斯特認(rèn)為，客觀知識(shí)不僅包含形式的或非形式的數(shù)學(xué)公理、定理、猜想和證明，也包括獲得社會(huì)性承認(rèn)的語(yǔ)言、邏輯約定和規(guī)則(明確的或隱含的)。客觀性被解釋為社會(huì)的認(rèn)同，個(gè)體的主觀知識(shí)通過(guò)發(fā)表獲得社會(huì)承認(rèn)的過(guò)程即是主觀知識(shí)獲得客觀性的過(guò)程。[7](P8)這些觀點(diǎn)著重強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)生成和演變的社會(huì)性，國(guó)內(nèi)學(xué)者在此基礎(chǔ)之上，進(jìn)行了批判性的接受，從內(nèi)部和外部?jī)刹糠謱?duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行多變量系統(tǒng)綜合分析。[8](P61)縱觀學(xué)習(xí)理論的發(fā)展史，從早期的行為主義理論到認(rèn)知理論和建構(gòu)主義，為了應(yīng)對(duì)學(xué)習(xí)理論全景變化方面的巨大復(fù)雜性，這些理論與社會(huì)學(xué)觀點(diǎn)的融合都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)認(rèn)知觀自身的一種超越。在這種數(shù)學(xué)知識(shí)社會(huì)學(xué)下，學(xué)習(xí)理論框架的建構(gòu)是一個(gè)多變量、多向度的內(nèi)在運(yùn)行機(jī)制(如圖1)。

圖1　數(shù)學(xué)思想水平框架圖②

回顧前面提到的弗賴登塔爾的思想觀點(diǎn)，我們能夠感受到從數(shù)學(xué)的三個(gè)世界出發(fā)：在向結(jié)晶體概念水平努力，獲得個(gè)人認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的更高要求的同時(shí)，另一股力量在向先前經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)水平縱深發(fā)展。復(fù)雜的概念思想具有極大靈活性，要求學(xué)習(xí)者構(gòu)建影響學(xué)習(xí)者表達(dá)新思想的連續(xù)不斷的經(jīng)驗(yàn)。而先前經(jīng)驗(yàn)促使個(gè)人認(rèn)知的更深理解。教育學(xué)中的“冰山理論”告訴我們，顯性知識(shí)只占所有知識(shí)的一小部分，而覆蓋在水面下我們看不到的是隱性知識(shí)。正如波拉尼(Polanyi，1891—1976)指出，隱性知識(shí)通常是個(gè)人的見(jiàn)解，只有通過(guò)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)才能獲取。語(yǔ)言的連接，使顯性知識(shí)和隱性知識(shí)相互轉(zhuǎn)化。張奠宙說(shuō)過(guò)，“教什么永遠(yuǎn)比怎么教更重要”，就著重強(qiáng)調(diào)了隱性知識(shí)的重要性。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)通常以顯性知識(shí)的形式出現(xiàn)，而先前經(jīng)驗(yàn)是隱藏在水下的看不到的部分，常常以隱性知識(shí)的形式出現(xiàn)。雖然它們兩者包含了兩個(gè)不同的發(fā)展水平，但是它們可以通過(guò)顯性知識(shí)和隱性知識(shí)的形式相互轉(zhuǎn)化。因此，在確定學(xué)習(xí)操作中支持性和障礙性先前經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，還要抓住使數(shù)學(xué)思想變簡(jiǎn)單靈活的結(jié)晶體概念。更進(jìn)一步地,在社會(huì)文化脈絡(luò)中，使結(jié)晶體概念和先前經(jīng)驗(yàn)理論達(dá)到適度的平衡，是數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)新的努力的方向。[9](P64)

概括看來(lái)，從Tall的數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論出發(fā)，三股不同的力量形成一個(gè)動(dòng)態(tài)的再生產(chǎn)循環(huán)學(xué)習(xí)理論系統(tǒng)。一方面，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)從具身化、符號(hào)化到形式化，越來(lái)越復(fù)雜，直至獲得統(tǒng)攝的結(jié)晶體概念。另一方面，認(rèn)知發(fā)展不斷地從先前經(jīng)驗(yàn)中獲取資源與能量，發(fā)揮積極作用，而障礙性先前經(jīng)驗(yàn)則在新語(yǔ)境中需要重新被建構(gòu)。顯性知識(shí)與隱性知識(shí)通過(guò)社會(huì)化、外化、融合、內(nèi)化的SECI模型，來(lái)實(shí)現(xiàn)連結(jié)。這三個(gè)方面并不孤立，它們?cè)谔囟ㄉ鐣?huì)、歷史和文化情境中演化和建構(gòu)。同時(shí)，在思維、問(wèn)題、觀念、語(yǔ)言、運(yùn)演法則和方法等多因素共同作用之下，又彼此依賴約束。這種力量的交織，根植于數(shù)學(xué)社會(huì)、文化、教育，與數(shù)學(xué)知識(shí)的生成與演化相呼應(yīng)。它促使學(xué)生用多元的方法去解決探究數(shù)學(xué)問(wèn)題，注重知識(shí)的連結(jié)。透過(guò)連結(jié)將知識(shí)融合，建立起一致的關(guān)系。教師也不再是唯一的指導(dǎo)者與發(fā)現(xiàn)者，翻轉(zhuǎn)成為發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者。這種數(shù)學(xué)知識(shí)多維度視角下的數(shù)學(xué)教育動(dòng)態(tài)圖景，是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論的豐富與延伸，代表了數(shù)學(xué)教育研究的趨勢(shì)走向。

注釋：

①原文是：At any one time there are only two levels of concern: the one that you are in at the moment and the next level that you are working towards.

②需要說(shuō)明的是：這是在Tall的更高、更深思想水平圖的基礎(chǔ)上改進(jìn)來(lái)的。

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Analysis on Learning Theory Structure under Sociology of Mathematical Knowledge

SHAN Yanyan1,2，HUANG Qin’an1

(1. School of Mathematics and Information Science, Shanxi Normal University, Xi’an Shanxi 7101192. College of Science, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot Inner Mongolia 010051)

Abstract:The development of sociology of mathematical knowledge, has established the important position of new forms of mathematical knowledge in education. Tacit knowledge is embedded in met-befores, which promote deeper development of mathematical cognition. And in the process of knowledge transformation, mathematical knowledge and rhetoric are in the role of bridges. Crystalline concepts are, frequently appeared in form of explicit knowledge, on behalf of higher development level of three world of mathematics theory. The interlocked and balanced strength forms a dynamic learning theory structure. In the influence of sociology of mathematical knowledge, integrating and connections, have become unconscious choice and endeavor direction of mathematical learning theory.

Key words:sociology of mathematical knowledge， mathematical structure， met-before， tacit knowledge， integration， balance，connection

作者簡(jiǎn)介：?jiǎn)五祝幽习碴?yáng)人，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院博士研究生，內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院講師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。

基金項(xiàng)目：本文系西安市2015年基礎(chǔ)教育研究重大課題“基于提升教育質(zhì)量的課堂教學(xué)建模研究”(立項(xiàng)號(hào)：2015ZB-ZD02)研究成果。

黃秦安，陜西西安人，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)文化研究。