橫看成嶺側成峰——對一競賽試題多種解法的賞析

黃國超

(諸暨市草塔中學　浙江 紹興　311812)

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橫看成嶺側成峰——對一競賽試題多種解法的賞析

黃國超

(諸暨市草塔中學浙江 紹興311812)

摘 要：本文以一道運動學題為例,談談“一題多解”在物理教學中的應用,通過一題多解的教學設計激發學生興趣,開拓學生思路,培養邏輯推理能力和想象力,進一步培養學生的解題能力.并結合例題探討了在一題多解教學中應該遵循的一些原則.

關鍵詞：一題多解物理教學

一題多解對于培養學生從不同角度、不同側面去分析問題、解決問題很有益處，它有利于調動學生思維的積極性，鍛煉學生思維的靈活性，培養學生思維的創造性．但一題多解的最終目的不是用來展示本題有多少種解決問題的途徑，也不是所有的題目都需要用多種方法去解決，而是要靈活運用解題方法，尋找一種最佳、最近的途徑，也就是說，掌握“一題多解”的最終目的是為了“拓展思維空間，培養學習興趣”．

【題目】如圖1，海島城市A離海岸120km，海濱城市B離C點160km，已知路上汽車速度是海上輪船速度的2倍，要使A和B兩城市之間運輸時間最少，轉換碼頭D建在何處最佳？

圖1

解析：該題的關鍵是尋找一條用時最短的路徑，我們可以用幾何方法來確定運輸的可能路徑．

第一條路徑：碼頭建在B城市，直接入水以v2速度在海上運輸．此路程最短，但海上運輸速度較岸上小．

第二條路徑：碼頭建在C點，先沿岸以速度v1到C點，再垂直岸路線到A城市，此路徑利用了岸上速度較大，但路程最長．

第三條路徑：碼頭建在BC之間某點D，先沿岸到D，再沿與岸成θ角的路線到達A城市．

上述哪條路徑用時最短呢？我們不防先通過比較來說說哪種路徑用時會比較短．

如圖2所示，一條路徑BB′A，點B′是靠近B左面的一點，所以Δθ很小，與岸的夾角為θ+Δθ，設所需時間t1．另一條路徑BA，設與岸成θ角，所需時間t2．

圖2

過B′作輔助線B′N，使AN=AB′，由于Δθ很小，可近似認為B′N⊥AB，則BN=BB′cosθ，那么兩路徑所需時間差即為分別通過BN與BB′所用時間的差值

現在的問題就在于具體的B′在哪里？與岸邊線的夾角多大？下面我們就介紹幾種求解方法來分析這一問題．

解法1：圖像解析法

如圖3所示，設運動總時間為Δt，在岸上運動時間為Δt1，在海中運動時間為Δt2．若直接在B點下水，則Δt=Δt2，能到達的最前方位置將是以B為圓心，v2Δt為半徑的一個圓周位置；若將所有時間都用在了岸上，則在海上已無時間再前進，能到達的最前方是以B為圓心，v1Δt為半徑的圓周位置，岸邊即圖中的B1位置．若在岸邊的其他任意一點D下水，能到達的最前方位置是以D為圓心，v2Δt2為半徑的圓周．若下水點從B到B1，由于總時間確定，則岸上運動時間將線性增加，而海中運動時間將線性減小，所以水中前進的半徑變化是線性的，這樣的許許多多的圓組成的最前方的界線為一直線，即圖中的NN′為入水后的與前進范圍圓相切的直線(實為無數個圓弧的包絡線)．要想到達最前面的邊界線的時間最短，海中運動方向DA必須垂直包絡線(如圖3)，此時，運動方向與岸邊直線的夾角即為本題前面所要尋找的θ角．

圖3

已知條件v1=2v2，結合圖像可求得θ=60°

點評：這種解法新穎、直觀、簡便，構思巧妙；但由于技巧性較強，一般學生較難想到．

解法2：微元極值法

從B點出發，先沿岸運動到D，再下水到達A城市，設∠CDA=θ時的路徑所需時間為最短，這種方法中只要時間取極小值即可．如圖4所示.

圖4

若有一條路徑在D點前方很短距離的H點下水，這條路徑與D下水相比，只是在岸上多運動了DH距離，而在海上少運動DI距離(作輔助線HI，取AH=AI，因為DH取非常小，可近似認為HI⊥DI，DI=DHcosθ)．

設DH距離用時Δt1，DI距離需時間Δt2，則

DH=v1Δt1DI=v2Δt2

兩路徑的時間差

而另一條路徑是在D點后方很短距離的K點下水，這一路徑將在岸上少運動DK距離，但在海中多運動了KM距離．(與前面一樣，這里可近似認為KM=JD=DKcosθ)

所以兩路徑的時間差

點評：微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法．用該方法可以使一些復雜的物理過程用我們熟悉的物理規律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化．在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元過程”所遵循的規律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進行必要的數學方法或物理思想處理，進而使問題求解．使用此方法會加強我們對已知規律的再思考，從而引起鞏固知識、加深認識和提高能力的作用．

解法3：函數解析法

如圖5所示 ，設碼頭建在D點，AD與岸的夾角為θ，所需時間為t，可列式得

圖5

有數學萬能公式可得

代入上式，可得到當θ=60°時t取最小值．則

所以

點評：解析法是幾何問題的代數處理．這種方法思路清晰、解法簡捷，利用了數學的函數取極值方法．這里運用了三角函數代換公式，其實也可利用對函數求導取極值的方法來求解θ值．

解法4：等效替代法

如圖6所示 ，先從B城市出發沿岸到D點用時Δt1，再下水到A城市用時Δt2．則有

BD=v1Δt1DA=v2Δt2

圖6

點評：掌握等效替代法及應用，體會物理等效思想的內涵，有助于提高考生的科學素養，初步形成科學的世界觀和方法論，為終身的學習、研究和發展奠定基礎．新高考的選拔愈來愈注重考生的能力和素質，其命題愈加明顯地滲透著物理思想、物理方法的考查，等效思想和方法作為一種迅速解決物理問題的有效手段．

解法5：費馬原理法

把CB設想為空氣和水的分界面，光在空氣中的速度為v1，在水中的速度為v2，則當A發出的光以θ人射到界面上，根據費馬原理可知A→D→B是光線由A傳到B的費時最小的路徑，即光從A傳到D后，在界面上發生折射，折射光線為DB時所用時間為最短，所以滿足

可見，要使A，B兩城市之間運輸時間最少，轉換碼頭D與海島城市A的連線與海岸的夾角θ為60°，則

所以

點評：直接利用原理，最易被學生所接受．

一題多解是以培養學生多解意識，拓展學生解題思路，激發學生的發散性思維，誘導學生積極開展思維為主要目的．不同層次的學生可以選擇不同的方法去思考．

(收稿日期：2015-10-22)