關于一個提繩問題中能量轉化的討論

葉啟航

(德清縣高級中學　浙江 湖州　313200)

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關于一個提繩問題中能量轉化的討論

葉啟航

(德清縣高級中學浙江 湖州313200)

摘 要：針對一道常見競賽題中出現的動量解答結論與能量守恒矛盾的問題，進行深入探討，重新審視常見解釋，并提出新的觀點，指出題目中存在的固有缺陷，并加以更正．

關鍵詞：提繩動量內力能量轉化

在很多參考書上，常常會見到這樣一個問題，一根細繩放在地上，用力F提起一端，以勻速率提起，求繩離地時的一些物理量．在這里展示兩本參考書上的原題．

文獻[1]：一根鐵鏈，平放在桌面上，鐵鏈每單位長度的質量為λ，現用手提起鏈的一端，使之以速度v豎直地勻速上升，試求在從離地開始到全鏈恰離地，手的拉力的沖量，鏈條總長L．

文獻[2]：長為L，質量為M的一根柔軟繩子盤放在水平桌面上，用手將繩子一端以恒定的速率v向上提起，求當提起高度為x時手的提力．

在以上兩種表述中，有一個很關鍵的區別，文獻[1]的鐵鏈是平放的，而文獻[2]則是盤放的．但二者給出的答案是一致的．

較為容易理解的解答如下：在繩提起x時(對于文獻[1]x=L)設力為F．

由動量定理

(F-λxg)dt=λdx·v

(1)

由繩約束

(2)

由以上兩式

F=λxg+λv2=λvtg+λv2

(3)

再求沖量

(4)

但是如果進一步討論F的做功情況會發現一個問題．利用式(3)，有

(5)

觀察式(5)前面一項顯然為繩的重力勢能增量，而由于繩以速度v勻速向上，后一項是動能增量的兩倍，這意味著機械能是不守恒的．有人對此提出解釋說是繩內力做功，機械能轉化為內能．然而我們知道，內力做功的條件是有內力存在，且質點間存在相對位移．如果說繩確實有微小形變的話，形變量應該與繩的一些性質有關，計算所得的結果應該涉及到繩的材料、內部結構等性質，而文獻[1]與文獻[2]分別采用鐵鏈和柔軟細繩，計算所得結果竟是一致的，這種解釋顯然是錯誤的．

那么為什么F做的功會“少了”一部分呢？

這就要從題目本身說起了．文獻[1]中鐵鏈是平放的,如圖1所示.

圖1

文獻[2]中軟繩是盤放的,如圖2所示.

圖2

對于圖1，完全提起后繩的質心向左移動，則必有向左的力，那么繩在水平方向也一定有速度，則多出來的一倍動能其實是繩的橫向擺動動能．而對于圖2，雖然繩是盤放但由于提起時質點并不在拉力F作用點的正下方，仍然會發生橫向的移動，只不過由于各個質點的擺動方向不一樣，繩的質心并不發生偏移，繩會做復雜的繞中心轉動的運動．

圖3

關于力做功后物體運動方向與力的方向不一致的例子有很多，下面舉一例以使討論更為形象．如圖3所示，一根輕繩兩端系有兩個質量為m的小球，初始位置如圖3(a)，在繩中點處施加力恒F．容易想見最后小球相碰前會具有垂直于F的速度，如圖3(b)，

而顯然全過程只有F對系統做功．

對應于本題討論，外力F做功，而內力就好比是繩的張力，在繩提起后內力將F做的功一部分轉化為繩橫向擺動的動能．事實上除了F那端上那個質點外，其余質點的機械能均直接來自于內力做功，因此繩運動方向取決于內力方向也就不足為奇了．

回到原題，用上述方法計算手的沖量或者提力就不那么妥當了，原題應改為求豎直方向上手的沖量或者提力．而且文獻[1]中豎直提起條件是不可能滿足的，這正是問題的癥結所在．

參 考 文 獻

1沈晨.更高更妙的物理.杭州：浙江大學出版社,2012.61, 322

2程稼夫.力學.合肥：中國科技大學出版社,2013.180,509氣體對活塞壓力變化量

(收稿日期：2015-10-11)