單球面折射成像公式及其應用

張家樂　王化銀

(淮北市第一中學　安徽 淮北　235000)

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單球面折射成像公式及其應用

張家樂王化銀

(淮北市第一中學安徽 淮北235000)

摘 要：物理競賽幾何光學球面折射問題的求解，直接利用單球面折射成像公式，往往能使得求解過程快速而簡潔．

關鍵詞：幾何光學球面折射物理競賽

單球面折射問題在競賽試題中時常出現，參考解法中用到的式子較多，且進行了較多的近似處理，學生不易理解．若直接利用球面介質對光線折射的普通規律——單球面折射成像公式，則能使得求解過程快速而簡潔．

1公式推導

如圖1，設其中折射球面的球心為C，球面兩側介質的折射率分別為n1和n2，且n1

圖1

由于i1和i2都很小，故由近似關系應有sini1=i1，sini2=i2，則上式變為

n1i1=n2i2

又由圖中的幾何關系可以看到i1=α+θ和i2=α-β，代入上式便為

以h表示圖中B點到主光軸的距離，R表示球面半徑，則由小角的近似關系可以得到

代入上式并整理可得

上式即為單球面折射時的物像距公式，式中各物理量的正、負取值有一定的規則，這一規則是：入射光線從左方射來時，球心在界面的右側，則R取正值，球心在界面左側，則R取負值；實物和實像的物距和像距都取正值；虛物和虛像的物距和像距都取負值．

2競賽試題解答

2.1題目1

【例1】(第32屆全國中學生物理競賽預賽第16題)如圖2所示，一垂直放置的高為15.0 cm的圓柱形中空玻璃容器，其底部玻璃較厚，底部頂點A點到容器底平面中心B點的距離為8.0 cm，底部上沿為一凸起的球冠，球心C點在A點正下方，球的半徑為1.75 cm．已知空氣和容器玻璃的折射率分別是n0=1.0和n1=1.56．只考慮近軸光線成像．已知：當λ?1時，sinλ≈λ．

(1)當容器內未裝任何液體時，求從B點發出的光線通過平凸玻璃柱，在玻璃柱對稱軸上所成的像的位置，并判斷像的虛實；

(2)當容器內裝滿折射率為1.30的液體時，求從B點發出的光線通過平凸玻璃柱的上表面折射后所成像點的位置，并判斷這個像的虛實．

圖2

2.1.1原解答

(1)容器底部凸面兩側介質的折射率分別是n1=1.56和n0=1.0．如圖3，由B點發出的經過球心C的光線BA經過頂點A后，方向不變，進入空氣中；由B點發出的與BA成α角的另一條光線BD在D點折射，設折射角為φ，并與前一條出射光線交于E點，E點即B點的像點的位置．

圖3

由折射定律和幾何關系得

n1sinθ=n0sinφ

(1)

γ=α+θ

(2)

φ=γ+β

(3)

在三角形BCD和三角形CDE中 ，由正弦定理可得

(4)

(5)

由于只考慮近軸光線成像，所以α，β，θ，φ都是小角度，式(1)、(4)、(5)可寫為

n1θ=n0φ

(6)

(7)

(8)

由式(6)、(7)可得

所考慮的光線是會聚的，故所成的像為實像．由式(2)、(3)、(6)、(7)、(8)可得

將題給數據代入上式得

1.75 cm=9.75 cm

(9)

由式(9)和題給數據得

(8.0-1.75+9.75) cm=16.0 cm

(10)

B點發出的光線通過平凸玻璃柱，在玻璃柱對稱軸上所成的像點的位置在C點正上方9.75 cm處或在B點正上方16.0 cm處．

(2)容器底部凸面兩側介質的折射率分別是

n1=1.56和n2=1.30．如圖4，由B點發出的經過球心C的光線BA經過頂點A后，方向不變，進入液體中；由B點發出的與BA成α角的另一條光線BD在D點折射，設折射角為φ，并與前一條出射光線交E點，E點即B點發出的光線第一次折射后所成像點的位置．

圖4

由折射定律和幾何關系可得

n1sinθ=n2sinφ

(11)

γ=α+θ

(12)

γ=φ+β

(13)

在三角形BCD和三角形CDE中 ，由正弦定理可得

(14)

(15)

由于只考慮近軸光線成像，所以α，β，θ，φ都是小角度， 式(11)、(14)、(15)可寫為

n1θ=n2φ

(16)

(17)

(18)

由式(16)、(17)可得

所考慮的光線是發散的，故所成的像為虛像．由式(12)、(13)、(16)、(17)、(18)得

將有關數據代入上式可得

1.75 cm=26.25 cm

(19)

由式(19)和題給數據得

(1.75+26.25-8.0) cm=20.0 cm

(20)

B點發出的光線通過平凸玻璃柱，第一次折射后所成的像點的位置在C點正下方26.25 cm處或在B點正下方20.0 cm處．

2.1.2利用單球折射成像公式解答

(1)當容器內未裝任何液體時，根據單球面折射成像公式得

即

解得

v=8.0 cm

所成的像點的位置在A點正上方8.0 cm處，即B點正上方16.0 cm處．

(2)當容器內裝滿折射率為1.30的液體時，根據單球面折射成像公式得

即

解得

v=-28.0 cm

所成的像點的位置在A點正下方28.0 cm處，即B點正下方20.0 cm處．

2.2題目2

【例2】(第25屆全國中學生物理競賽預賽第19題)

如圖5所示，一細長的圓柱形均勻玻璃棒，其一個端面是平面(垂直于軸線)，另一個端面是球面，球心位于軸線上．現有一根很細的光束沿平行于軸線方向且很靠近軸線入射．當光從平端面射入棒內時，光線從另一端面射出后與軸線的交點到球面的距離為a；當光線從球形端面射入棒內時，光線在棒內與軸線的交點到球面的距離為b．試近似地求出玻璃的折射率n．

圖5

2.2.1原解答

入射的兩條光線如圖6所示．α1和β1是從平端面入射的光線通過球形端面時的入射角和折射角；α2和β2是從球形端面入射的光線通過球面時的入射角和折射角．根據折射定律有

nsinα1=sinβ1

(21)

sinα2=nsinβ2

(22)

圖6

由幾何關系有

β1=α1+δ1

(23)

β2=α2+δ2

(24)

設球面的半徑為R，注意到α1，α2，δ1，δ2都是小角度，故有

Rα1=aδ1

(25)

Rα2=aδ2

(26)

根據題給的條件，式(1)、(2)可近似表示成

nα1=β1

(27)

α2=nβ2

(28)

由式(3)~(8)得

(29)

2.2.2利用單球折射成像公式解答

根據單球面折射成像公式得

當光從平端面射入棒內時

當光線從球形端面射入棒內時

解以上兩式得

競賽試題的原解答，相當于將單球面折射成像公式從頭至尾又推導了一遍，其中涉及到折射定律、幾何關系及近軸光線情況下近似處理，過程呈現中用到的式子也必然較多．但這種解法輔助以光路圖，成像位置、虛實，一目了然，較為直觀．直接利用單球面折射成像公式求解此類問題，省去了中間推導的繁雜過程，簡潔、明了，像的虛實也可以根據像距v的正負進行判斷．對于高強度的物理競賽拔尖選優考試，后一種方法更為高效、省時，同時也能反映出學生對物理鉆研的深度與廣度．

參 考 文 獻

1程稼夫．中學奧林匹克競賽物理講座．合肥：中國科學技術大學出版社，2000

(收稿日期：2015-10-17)