替換電阻簡化電路*

(石獅市第一中學　福建 泉州　362700)

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替換電阻簡化電路*

(石獅市第一中學福建 泉州362700)

摘 要：對于某些復雜電路，用串聯或并聯的兩個電阻替換電路中的某個電阻，能有效地簡化復雜電路，可簡便計算等效電阻等有關問題．

關鍵詞：替換電阻串聯替換并聯替換簡化電路

等效替換是一種重要的物理方法．在解決某些復雜電路問題時，可將電路中的某個電阻用串聯或并聯的兩個電阻來替換，能有效地簡化復雜電路，計算等效電阻，從而方便地解決問題．

1串聯替換

所謂串聯替換，就是將如圖1(a)所示的電阻R，用串聯形式的兩個電阻R1和R2來替換，且R=R1+R2，其中R1=mR，R2=(1-m)R，m是一個正的實數，如圖1(b)所示．替換之后，a與b兩端點間的電壓等于各分段電壓之和．

圖1

【例1】在如圖2所示電路中，R1=R4=R5=1 Ω，R2=R3=2 Ω，若a與b兩端點間的電壓為U，求a與b兩端點間的等效電阻Rab及c與d兩端點間的電壓Ucd．

圖2

解析：本題如果僅利用一般的電阻串、并聯公式，不可能計算出Rab，若直接應用基爾霍夫定律則需要解多個冗長的一次方程組．

下面用替換電阻的方法來求解．

將電阻R2用兩個電阻mR2和(1-m)R2串聯的形式來替換，如圖3．取c′為mR2和(1-m)R2的連接點，令c′點和c點電勢相等．

圖3

設電阻R1，R2，R3，R4，R5中的電流分別為I1，I2，I3，I4，I5，由于電路的對稱性，可以看出

I1=I4I2=I3

由于

I1R1=mR2I2

I5R5=(1-m)R2I2

I2+I5=I4=I1

由此可得

解得

因而圖1電路可等效為圖4電路，通過串、并聯計算求出

圖4

或者，不僅將電阻R2替換為兩個電阻mR2和(1-m)R2串聯的形式，同時也將電阻R3替換為兩個電阻mR3和(1-m)R3串聯的形式，這樣圖1電路可等效為圖5的電路，通過串、并聯計算可求出

圖5

2并聯替換

圖6

圖7

在上面例1的解答中應用串聯替換法，將單個電阻R2(以及R3)替換為兩個電阻串聯的形式．下面用兩種不同的并聯替換的方法解答例1．

解法1:在圖2電路中，設電阻R1，R2，R3，R4，R5中的電流分別為I1，I2，I3，I4，I5，由于電路的對稱性，可以看出

I1=I4I2=I3

因為I1=I3+I5，如圖8(a)，將R1用并聯的兩個電阻R11，R12來替換，且R11，R12中各自流過的電流I11，I12滿足：

I11=I5I12=I3

由I2=I3=I12和a與d間的電壓，得出

I11(R11+R5)=I12R2

所以

代入電阻具體數值，得

n=3R11=3 ΩR12=1.5 Ω

于是，圖2電路可簡化為等效的圖8(b)電路．

或者，由于對稱性，將R1用并聯的兩個電阻

R11=3 Ω、R12=1.5 Ω替換的同時，將R4也用并聯的兩個電阻R41=3 Ω，R42=1.5 Ω來替換，這樣圖2電路也可等效為圖8(c)電路．

由圖8(b)或圖8(c)，經過串、并聯計算，可得

Rab=1.4 Ω

圖8

解法2：根據I1=I4，I2=I3，將R5看成是由通有電流I1的R51和通有電流I2的R52的兩個電阻并聯而成，如圖9所示．因為電流I1與電流I2的流向相反，于是n<1．

圖9

I1R51+I2R52=0

I1(R1+R4+R51)=I2(R2+R3+R52)

代入電阻具體數值，得

3替換電阻方法的應用

3.1處理任意惠斯通電橋問題

【例2】如圖10所示的惠斯通電橋，電阻R1，R2，R3，R4，R5的具體阻值未知，若流入a端點的電流為I0，求流過電阻R1，R2，R3，R4，R5中的電流．

圖10

圖11

由于

I5(nR1+R5)=I2R2

I5(R5+mR4)=I3R3

I1+I2=I0

所以

I0=nI5+(m-1)I5

即

因為

或

mR2-nR1=R5-R2

nR3-mR4=R5+R3

故

當求出m和n，就可知通過所有電阻的相應電流值

顯然，m=n=∞，相當于一個平衡電橋．

因此

R2R3-R1R4=0

或

3.2簡化框架類電路

【例3】如圖12所示，立方體框架由12根相同的金屬絲連接而成，每根金屬絲的電阻為r．若電流從A點流入，從B點流出．求A與B點間的等效電阻．

圖12

解析：由于電路的對稱性，可用I1，I2和I3表示出每根金屬絲中的電流，如圖13所示．

圖13

即m=2．

圖14

A與B兩點間的電壓為

整理得

解得

n=5

于是

根據圖14電路，通過串、并聯計算可得

陳龍法**福建省教育科學“十二五”規劃2015年度常規課題“高中物理教材二次開發案例研究”，項目編號：FJJK15-454作者簡介：陳龍法(1961-),男，中學高級教師，主要從事高中物理教學與研究.

(收稿日期：2015-12-04)