楊氏雙縫干涉圖樣的理論模擬

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楊氏雙縫干涉圖樣的理論模擬

摘 要：本文在未經任何理論近似的情況下，模擬了楊氏雙縫干涉實驗中觀察屏上的干涉圖樣，模擬結果不但有利于學生全面掌握干涉條紋的分布規律，而且有助于學生體會實驗條件的重要性．

關鍵詞：雙縫干涉光程差模擬

1801年，楊氏雙縫干涉實驗證實了光的波動性，并首次成功測量了光的波長，為光的波動學說發展奠定了堅實的基礎，因此，該實驗在物理學史上具有重要的地位和作用．楊氏雙縫干涉實驗中，雙縫到觀察屏上任意點的距離差，即兩光束的光程差至關重要，因為它直接決定了觀察屏上干涉條紋的分布情況．

現有大學物理教材在給出觀察屏上條紋分布時，大都先經過理論近似給出近似的光程差表達式[1~4]，然后，將光程差表達式和光的干涉加強和減弱的條件聯立，得出屏幕上干涉條紋是明、暗相間的等間隔的直條紋的結論．在近似表達式基礎上得到的結論畢竟不能真實反映條紋分布，所以采用近似方法處理光程差不利于學生全面了解條紋的真實分布．觀察屏上實際的條紋分布應是怎樣的呢？少數教材[5]雖提到觀察屏上以強度相等為特征的點的軌跡應是一組雙曲線，但并未有詳細說明．

本文在未經任何近似的情況下，理論模擬了觀察屏上干涉明紋分布，并對條紋分布特點進行了總結．

1明暗干涉條紋所滿足的方程

圖1為楊氏雙縫干涉實驗光路示意圖．

圖1　楊氏雙縫干涉實驗光路示意圖

設雙縫S1，S2的間距為d，O為雙縫S1，S2的中點，雙縫所在平面與光屏平行．雙縫與屏之間的垂直距離為D，在屏上取任意一點P，設定點P與雙縫S1，S2的距離分別為r1和r2，Δr為光程差，結合圖1中虛線易得

所以，雙縫S1，S2發出的光到達屏上P點的光程差

Δr=r2-r1=

(1)

根據光的干涉的相關理論，當兩光束光程差滿足公式

Δr(x,y，D)=kλ,

k=0,±1,±2，…，±n

(2)

時，觀察屏上滿足公式(2)的點為亮點，同一k值所對應的亮點連起來構成第k級明紋．當光程差滿足公式

k=0，±1，±2，…，±n

(3)

時，觀察屏上滿足公式(3)的點為暗點，同一k值所對應的暗點連起來構成第k級暗紋．

2理論模擬結果

根據公式(1)~(3)，通過改變d，D或入射波長λ值，即可獲得不同條件下觀察屏上的干涉條紋分布．因明、暗條紋分布情況類似，我們僅給出明紋模擬結果．在模擬過程中，入射單色光波長設為500 nm，圖2~圖5中的x軸和y軸分別對應圖1觀察屏上的x和y軸．

2.1D取不同值在較大范圍內觀察的情況

當d=0.1 mm，D取不同值時，在較大觀察范圍內，屏幕上干涉明紋的分布情況.

圖2(a)~圖2(d)給出了d=0.1 mm，D分別為0.5 m，1 m，1.5 m和2 m時，屏幕上較大觀察范圍(相對于楊氏雙縫實驗中通常的觀察線度)內中央明紋及左右±50級明條紋的分布情況．圖2中x和y軸坐標均在[-0.7 m，0.7 m]之間．

圖2　d=0.1 mm，D取不同值時，屏幕上較大觀察范圍內明紋分布

由圖2可知，觀察屏上較大范圍內，當D分別為0.5 m，1 m，1.5 m和2 m時，觀察屏上明條紋(除中央明紋外)確實呈典型雙曲線形狀且對稱分布在中央明紋兩側，而不是等間距的直條紋分布，但隨著D的增加，雙曲線的彎曲程度明顯減?。硗?，隨著D增加，條紋間間距加大，明紋在x軸分布范圍逐漸加寬．當D為0.5 m時，-50級至+50級明紋基本上分布在x軸上 [-0.2 m，0.2 m]之間，當D為1 m,1.5 m，分別分布在[-0.3 m，0.3 m]和[-0.4 m，0.4 m]之間，至D=2 m時，分布已擴展到[-0.55 m，0.55 m]之間．

2.2D取不同值在較小范圍內觀察的情況

當d=0.1 mm，D取不同值時，在較小觀察范圍內，屏幕上干涉條紋的分布情況.

圖3(a)~3(d)給出了d=0.1 mm，D分別為0.5 m，1 m，1.5 m和2 m時，在較小觀察范圍內，觀察屏上明紋分布圖．圖3中x軸和y軸坐標均在[-0.06 m，0.06 m]之間[圖3(a)~3(d)實質分別對應圖2(a)~2(d)的一小部分]．

圖3　d=0.1 mm，D取不同值時，屏幕上較小觀察范圍內明紋分布

由圖3(a)~3(d)可知，在較小觀察范圍內，當D為0.5 m時，較高級次明紋仍呈現雙曲線形，但中央明紋附近級次已非常接近直線分布．隨著D增加，當D為1 m，1.5 m和2 m時，目測各級明紋均已呈平行等距直線分布．另外，隨著D增加，條紋分布由密集變稀疏，條紋間距增大，觀察屏上干涉明紋數量減?。擠=0.5 m時，條紋比較密集，條紋數量為23×2+1條；D為1 m和1.5 m時，條紋數量分別為11×2+1條，1.5 m時的7×2+1條；而D為2 m時，只能觀察到5×2+1條．

2.3d取不同值在較小范圍內觀察的情況

當D=1.5 m，d取不同值時，在較小觀察范圍內，屏幕上干涉明條紋的分布情況.

圖4(a)~4(d)為D=1.5 m，d分別為0.02 mm，0.1 mm，1 mm和3 mm時，在屏幕上較小觀察范圍內的分布[圖4(c)~4(d)中只顯示了中央明紋及其左右各50級干涉明紋]．由圖4的模擬結果可知，當D為1.5，在觀察屏上較小范圍內，隨著d增加，相鄰級次明紋間距變窄．當d為0.02 mm時，在屏幕上較小觀察范圍內，只能觀察到3條明紋(包括中央明紋及其左右±1級明紋)；d=0.1 mm時，能觀察到7×2+1條明紋(到第7級)；而d=3 mm時，條紋間距小的已無法用肉眼分辨；當d大于3 mm，觀察屏上的明紋會進一步聚集而變得更窄，此時，在觀察屏上應只觀察到一條亮線，無法觀測到干涉現象．這與干涉理論是一致的，因為隨著d的增加，當d大到一定程度時，兩縫光源將不再滿足相干光源條件，所以也就無法觀察到干涉現象．

圖4　D=1.5 m，d取不同值時，屏幕上較小觀察范圍內明紋分布

2.4入射波長值取不同在較小范圍內觀察的情況

當D=1.5 m，d=0.1 mm，入射波長分別為400 nm，500 nm，600 nm和700 nm時，在較小觀察范圍內，屏幕上干涉明條紋的分布情況.

圖5(a)~5(d)為D=1.5 m，d=0.1 mm，波長分別為400 nm，500 nm，600 nm和700 nm時，在屏幕上較小觀察范圍內的分布．由圖5可知，當D為1.5，d=0.1 mm時，在觀察屏上較小范圍內，隨著波長增加，相鄰級次明紋間距變大，觀察到的條紋數量變少．當波長分別為400 nm，500 nm，600 nm和700 nm時，在屏幕上較小觀察范圍內，分別能觀察到9×2+1=19條、7×2+1=15條、6×2+1=13條和5×2+1=11條明紋．

圖5　D=1.5 m，d=0.1 mm，波長取不同值時，

由上述模擬結果可知：

(1)D取不同值時，在x軸右側的觀察屏上均能觀察到干涉條紋，由于在兩相干光波疊加區域內，處處都存在干涉的現象，稱為不定域干涉，因而楊氏雙縫干涉為非定域干涉．

(2)嚴格來說，觀察屏上的條紋除中央明紋外為一系列雙曲線，并非等間距直線．只是在較小觀察范圍內，才觀察到平直的等間距干涉條紋，并且，隨著D的增加，條紋間距變大．

(3)在同一D下，隨著d增加，相鄰級次明紋間距變窄，當d大到一定程度，肉眼將無法分辨干涉條紋．

(4)在D和d一定，入射波長不同時，隨著入射波長增加，條紋間距變大，可觀察到的條紋數量減?。?/p>

(5)D為m量級，d為0.1 mm量級，實驗室可觀察到清晰干涉條紋．

3結論

本文在未經任何理論近似的情況下，通過改變不同參數，模擬了觀察屏上干涉明紋的分布，該模擬結果不但直觀地展示了干涉條紋分布特點，有助于學生對干涉條紋分布規律的理解和掌握，而且可在一定程度上指導楊氏雙縫干涉實驗．另外，通過對比不同參數下的模擬結果，可引發學生對實驗條件的關注，認識到實驗條件的重要性．

參 考 文 獻

1程守洙, 江之永．普通物理學．北京：高等教育出版社，1998.175~176

2張三慧．大學基礎物理學．北京：清華大學出版社，2003.592~593

3馬文蔚, 周雨青, 解希順．物理學教程．北京：高等教育出版社，2006.185

4吳百詩. 大學物理.西安：西安交通大學出版社，2008.118~119

5金仲輝, 柴麗娜．大學基礎物理學．北京：科學出版社，2010.260

Theoretical Simulation on Young′s Double-slit Interference Pattern

He KunnaHan PingZhu ShiqiuJin Zhonghui

(College of Science,China Agricultural University,Beijing100083)

Abstract：The paper theoretically simulated the fringe pattern on the screen in Young′s double-slit interference experiment in case that the theoretical analysis is not approximated. The simulation result is not only helpful for students to master the interference fringes in an all-round way, but also helpful for students to understand the importance of the experimental conditions.

Key words：double-slit interference；optical path difference；simulation

(收稿日期：2015-11-26)

作者簡介：何坤娜韓 萍朱世秋金仲輝*何坤娜(1976-)，女，博士，講師，主要從事大學物理的教學工作以及新型激光器件與技術等方面的研究．
( 中國農業大學理學院應用物理系北京100083)