波函數與本征函數的分析

門福殿

[中國石油大學(華東)理學院　山東 青島　266580)

田金承

(山東鋁業職業學院　山東 淄博　255065)

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波函數與本征函數的分析

門福殿

[中國石油大學(華東)理學院山東 青島266580)

田金承

(山東鋁業職業學院山東 淄博255065)

摘 要：依據量子力學基本理論，分析了波函數與本征函數的定義、性質及其意義，明確兩個重要概念的不同．

關鍵詞：波函數本征函數薛定諤方程本征方程標準條件

量子體系的狀態由波函數完全描述，體現于波函數的幾率意義：ψ(r,t)可給出t時刻r處的幾率密度，還可給出任意力學量取各種可能值的幾率，由此可知道力學量的平均值．

量子體系的波函數演化由薛定諤方程確定，即體系的哈米頓算符決定，而該算符由系統本身與所處的外界環境確定．

波函數要滿足有限(平方可積)、單值、連續的物理條件即標準條件．

1波函數與本征函數滿足的規律不同

2波函數與本征函數的性質不同

厄米算符的本征函數可以取為相互正交的函數，且構成完全系；波函數(定態波函數除外)之間并無正交關系，也不構成完全系，而是服從統一的薛定諤方程．

3波函數與本征函數的幾率意義不同

由此可見, 波函數與本征函數雖然都可稱為態函數,但是, 波函數對狀態的描述是完全性的,本征函數對狀態的描述是單一性的．量子力學理論中的標準條件是源于波函數的幾率意義而提出的,而本征函數不具備波函數所具有的幾率意義,因此本征函數不必一定滿足波函數應滿足的標準條件．如

4特別的本征函數可代表波函數

5波函數的表達依托于本征函數

基于以上分析,我們認為波函數與本征函數是相互關聯但又是有很多區別的兩個概念，在教科書(初級量子力學及高等量子力學)中應該既體現波函數與本征函數的相互關聯又要分析兩者的區別,以利于在教學中更準確地把握量子力學的兩個重要概念，加深對量子力學基本問題的理解．

參 考 文 獻

1錢伯初.量子力學.北京：高等教育出版社，2006.69

2朱棟培.量子力學基礎.合肥：中國科學技術大學出版社，2012.105~107

3曾謹言.量子力學(Ⅰ).北京:科學出版社,2007.41

4張啟仁.量子力學.北京:科學出版社,2002.28

Analysis on Wave Functions and Eigen Functions Men Fudian [College of Science, China University of Petroleum(East China)，Qingdao,Shandong266580)

Tian Jincheng

(Shandong Aluminum Vocational College,Zibo,Shandong255065)

Abstract:Based on the basic theory of quantum mechanics, the definition、the properties and the significance of the wave function and eigen-function are analyzed, and the difference of the two important concepts are made clear.

Key words:wave function;eigen function;Schr?dinger equation;eigen equation;standard condition

(收稿日期：2015-10-19)