“兒童數學”教學：基于“HPM”視角

江蘇省蘇州市吳江區盛澤小學　饒麗娟

“兒童數學”教學：基于“HPM”視角

江蘇省蘇州市吳江區盛澤小學饒麗娟

“數學史”應該而且必須成為兒童數學學習的指南。“HPM”視野下的“兒童數學”教學，首先要研究兒童，其次要研究數學。在融入“數學史”的兒童數學教學中，教師可以采用“鏈接式”移入、“附加式”切入和“發生式”融入等多種方式，讓兒童掌握數學知識，感悟數學的思想方法。

“HPM”視角；兒童數學；數學史

“HPM”是1972年第二屆國際數學教育（ICM）大會上成立的“數學史與數學教育國際關系研究小組”的簡稱（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics）。HPM關注的內容主要包括：數學與其他學科的關系、多元文化的數學、數學史與學生的認知發展、數學史與發生教學法、數學史與學生學習的困難、數學原始文獻在教學中的應用等等。不難看出，“HPM組織”研究的重點就是“數學史”與“數學教學”的關系。那么，“數學史”如何走進“兒童數學”教學？“數學史”在“兒童數學”教學中有何意義？筆者在“兒童數學”教學實踐中進行了積極的探索。

一、基于“HPM”視野“：“數學史”走入“兒童數學”的可能

由于“兒童數學”教材中的數學知識是“套裝”的，它略去了人類“生命 實踐”活動的鮮活歷程，而且“兒童數學”中的知識展現也不是原生態的、發生式的。因此，在“兒童數學”教學中，教師必須對數學知識進行剪裁和加工，將“學術形態的數學”轉化成“教育形態的數學”，將數學“冰冷的美麗”還原成“火熱的思考”。例如，“時間尺的形成”、“三角板的來歷”、“負數的誕生”、“用字母表示數的歷程”，等等。這些知識的教學都要追溯歷史的“源”、“流”。“HPM”視野下的數學教學能夠激發兒童的學習興趣，協同兒童的認知發展，培養兒童的數學精神和品格。

1.研究兒童

“歷史是教學的指南”。“數學史”給“兒童數學”教學最重要的啟示是：兒童學習知識的關鍵步子是人類探索數學的微型歷史縮影。由此，數學教學要研究兒童，了解兒童的認知起點和結構狀態，探索兒童的認知障礙，遵循兒童的認知規律。例如，“認識負數”，在小學階段重要的不是讓孩子比較負數的大小，而在于引領孩子體驗負數是“表示具有相反意義的量”。否則，兒童同樣會產生歷史上數學家的困惑，感到“負數是荒謬的數”，是“不可思議的數”。

2.研究數學

“兒童數學”中的知識都有其誕生歷程，教學中只有了解人類是如何獲得知識的，才能對孩子如何獲得知識做出理性判斷。為此，必須把握數學知識的過程本質，洞悉兒童數學中蘊含的豐富而深刻的數學思想方法。例如，“乘法”是“表示幾個相同加數的和的簡便運算”，所以乘號“×”和加號“+”有著內在的關聯。讓孩子體驗乘號“×”的合理性，體驗符號“×”中蘊含的數學智慧是數學教學的應有之義。

二、基于“HPM”視野：“數學史”如何走進“兒童數學”

“數學史”如何走入“兒童數學”教學？根據筆者的教學實踐，可以提供歷史信息，即“鏈接式”移入；可以是對歷史文化知識的發掘，即“附加式”切入；也可以是借鑒歷史進行教學，即“發生式”融入。其中，“鏈接式”移入和“附加式”切入都是顯性地運用“數學史”，而“發生式”融入則是隱性地運用數學史。

1.“鏈接式”移入：感受數學知識的文化意味

所謂“鏈接式”數學史料的嵌入方式就是將與數學知識相關的歷史知識、材料和背景等外加于教學內容，如教材編排中的“你知道嗎？”，“鏈接式”數學史料的接入方式是簡單而且容易操作的。例如，教學“圓的周長”，在孩子們對圓的周長和直徑、半徑等的關系的猜想后，筆者組織學生用“繞圓法”、“滾圓法”等方法進行實驗探索，將孩子們的探索結果和數學史上的數學家的探索結果進行對比、對接，增進了孩子們探索的信心。特別是當學生閱讀到南北朝時期數學家祖沖之探索圓周率的故事，知道了祖沖之早在一千多年前用“割圓術”將圓周率精確到小數點后7位，并且用約率和密率表示圓周率時，更是在心中激蕩起無比的自豪感。盡管學生還不能領會“割圓術”的精妙，但他們深刻地體驗到我國數學思想方法與數學文化的博大精深。可見，“鏈接式”的數學史料融入法對于學生認識數學知識的歷史文化意義具有重要的作用。

2.“附加式”切入：體驗數學思想方法的精妙

所謂“附加式”數學史料的切入方式就是用數學史上的一些數學典故、名言等將數學教學進行串接，或者用人類探索數學知識的關鍵步子進行分步教學。如人類的“用字母表示數”的三個階段：文辭階段、縮寫階段、符號階段，教學時同樣依據這樣的階段設計，體驗出探索的一般歷程。再如，教學“圓的認識”，筆者用《周髀算經》中的“不以規矩不能成方圓”引領學生畫圓；用墨子的“圓，一中同長也”引領學生探究同圓或等圓中半徑、直徑的特征；用《周髀算經》中的“圓出于方，方出于矩”來讓學生感受“化曲為直”的數學方法和“極限”的數學思想。在“附加式”切入中，教師或選擇數學史料的某些文化切片，或選擇數學史中人類探索的關鍵步子進行引導。這些切入、引導不僅促進了兒童的數學認知，更拓展了兒童的數學視界，滋養了兒童的數學精神和品格。

3.“發生式”融入：重構數學知識的誕生史

19世紀德國生物理論家海克爾認為，“個體發育史重蹈種族發展史”。兒童的數學認知同樣契合人類知識的認知發生過程。在數學史上，龐加萊、克萊因、弗萊登塔爾、波利亞等數學家都深信并支持“歷史發生原理”。數學教學中，教師要深刻理解并努力重構數學知識的誕生史。例如，教學“比的意義”，研讀數學史會發現，“比”產生的客觀基礎是“量”，“比”產生的主觀愿望是“人類描述兩種量（幾種量）之間的關系”，“比”解決了“量”的“不可度量屬性”的可比性。基于此，筆者分三個層次設計教學，首先出示幾個數量，讓學生從相差關系、倍數關系方面進行描述；其次出示幾組不可直接度量的量讓學生比較，如“紅隊和藍隊比賽投籃，紅隊投中了15個，藍隊投中了20個，哪個隊投籃更準些？”，“甲杯含糖30克，乙杯含糖40克，哪杯水更甜些？”，讓學生感受“比”產生的必要性；再次是讓學生感受到比可以描述變化量的關系，如“小明調制一種顏料，用1勺黃顏料配4勺藍顏料，那么兩勺黃顏料配幾勺藍顏料？”這樣的設計讓學生深刻體驗比的產生的歷程。不難看出，“發生式”教學隱性地融入了數學史，是一種數學的“再創造”！

“HPM”視野下的“兒童數學”教學閃現著人類的智慧創造，更展現了兒童的數學“再創造”智慧。兒童不僅僅掌握了數學知識本身，更領悟到數學知識豐富的背景、精妙的方法和深刻的思想。“數學史”應當成為兒童“認知的橋梁”、“學習的路徑和指南”！

［1］張平.HPM視域下的概念教學［J］.上海教育科研，2015（3）.

［2］薛志梅.HPM研究與實踐：是理念，更是行動［J］.江蘇教育（小學教學），2015（5）.

［3］金惠萍，王芳.HPM視角下的對數概念教學［J］.教育研究與評論（中學教學），2014（9）.