探究明理
——一節好課標準的最佳詮釋——以羅鳴亮《判斷2、3、5的倍數特征》教學為例

蔡麗圓

何為一節好課？在課程教學目標指向學科核心素養的當下，一節好課，不僅要有知識的授受，還需有智慧的啟迪，同時還承載著對生命的點化或潤澤。

一、知其然，更要知其所以然，以豐富理解

課始，喚醒學生的知識經驗之后，羅老師通過一問“你有新的問題產生嗎？”引導學生提出兩個問題——為什么判斷一個數是不是5的倍數，只要看個位數，而其他數位都不用看呢？為什么判斷一個數是不是3的倍數，要看各位上數的和？這樣引發學生三個層次的思考：

1.根據已有知識經驗展開思辨，尋找問題的答案。

一開始，面對“突如其來”的兩個“為什么”，課堂處于靜寂中，羅老師發揮頭腦風暴：這樣吧，給大家一點時間，先激烈地討論討論，說一說困惑，看看怎么解決這個問題，好不好？

討論后，學生的匯報磕磕絆絆，逐步完善：

生1：我認為雙數個數的5相加，結果末位是0，單數個數的5相加，結果末位是5，自然數能分成兩類，單數和雙數，因此，答案末尾必須是0或5。

生2：我們同桌還有一種判斷方法。一個奇數×5，結果個位一定是5，一個偶數×5，結果個位一定是0。

學生的回答中，已經把條件與結論顛倒來解決問題，學生并不清楚這樣的說理是站不住腳的。因此，羅老師并沒有用自己的專業與學生辯駁，只是再次提醒：我們的問題是：為什么判斷這個數是不是5的倍數只看個位，而十位、百位、千位都不用看呢？這一提醒起了作用。

生3：我認為，或許因為十位、百位、千位等位數都是由個位進過來的，所以只看個位。(全體學生鼓掌)

師：或許什么意思？

生3：我也不確定啊，只是可能性的猜測。

生4：我補充，除了個位，十位的數去掉個位，末尾是0，百位的末尾也有0，有0的數就是5的倍數，這樣只要看個位是不是5的倍數就可以了。(全體學生鼓掌)

師：你們習慣真好！鼓掌是表示聽懂啦？聽懂的來說說。

生5：我想幫他再說一遍。他的意思是說，不管多大的數，這樣除后余下來的數，再加上個位上的5或0，這個數就是5的倍數。

生6：我認為可以把它分成幾部分，比如說1995，可以分成1000、900、90 和 5，而這些都是可以被5整除的。

在同學們逐步完善的回答中，真正傾聽并理解的同學越來越多。為使更多的同學聽懂，羅老師提議生6再次講解。

羅老師：你們又鼓掌？聽懂的請舉手。（數量明顯增多）

最后生6進行板演，學生的思辨在直觀中清晰起來。緊接著，羅老師結合課件與計數器，站在數的構成角度詳細剖析給全班學生觀察。把計數器藏起來的做法，更是精妙絕倫：從千位、百位、十位的確定，到個位的不確定，引領學生充分理解知識要點。

2.動手探究，自我建構知識。

師：3的倍數為什么不能只看個位呢？

生1：因為3的個位是不確定的，可能是 0、1、2 等等，所以不能只看個位，得總體來看。

生2：因為十不能被3整除，十往后所有的位數都不能被3整除。有余數的話就必須和個位加起來是3的倍數。

羅老師表揚了生2結合2、5倍數特征的研究策略從十位開始思考的做法，幫助學生積累活動經驗，并順勢激發學生采用“舉例”策略進行研究。

師：你都沒發過言，來，這個機會給你啦。

生3：我舉個例子，比如12，拆分成10和2，10除以3余1，這個1又和個位的2結合，結果能被3除盡，所以這個數能被3除盡。

經過幾分鐘的自主探究，這個不太自信的學生手拿例子在臺上講得頭頭是道，知識建構明晰而完整。

3.爭論交流、達成共識，頓悟豁然開朗。

生4對生3提出質疑：是所有十位以上的整數都是除以3而余1嗎？

生3：我覺得是可以的。因為百位是由10個十組成的，因此百位除以3也是余下1，千位除以3也余下1。

生4：那300呢？

生 3：300可以分成 3個100，100除以 3 余下 3 個 1，3個1結合也就成了1個3。

生4露出理解的表情，但羅老師沒有就此打住，他及時打開課件，再次對生3進行提問，引導更全面的生生對話交流：10個珠子，3個3個分，余下的1為什么要加2？

生3：把1轉到個位上來。

羅老師問另一生：為什么把1轉到個位來？

另一生：這個1不是1個十了，是1個一，1個一和2個一又可以湊成3個一。

隨后又一生分析了22÷3的過程中“此2非彼2”的原理，全班學生都幡然領悟。

二、知其然，奚以知其然也?以啟迪智慧

本節課學生的尋理之路有兩個層次：一個是顯性層次：為什么判斷一個數是不是5的倍數，只要看個位數，而其他數位都不用看呢？為什么判斷一個數是不是3的倍數，要看各位上數的和？這兩個“為什么”正是課堂上要講清的道理。

1.經驗式說理。

本課一開始，當羅老師對學生提出“為什么”時，學生答因為偶數乘5，個位一定得到0；奇數乘5，個位一定得到5，這是一種經驗式說理。經驗式說理與學生的已有認知水平息息相關，因此存在局限性和易錯性。

2.舉例式說理。

說理時都是從很具體的數字開始，例如課堂中的生6到臺上寫下1995÷5，并解釋說：我把 1995 分成 1000、900、90和5，而這些數都是可以被5整數的。后面生3舉12÷3的例子，以及全班同學利用探究單進行研究。這個環節從個別的例子到多個例子，充分提高了學生合情推理的能力。

3.一般性的邏輯推理。

在解決3的倍數問題上，老師一下提高到抽象層面：abc這個數要如何判斷它是不是3的倍數？學生能從本質上答出a+b+c。這在數學上是一種比較嚴密的說理角度。

另一個是隱性層次：數學思想方法。授人以魚，不如授人以漁。數學中最主要的成分始終是思想方法。本課讓學生感悟最強烈的數學思想方法除了合情推理，還有猜想與反駁。即如果我知道一個道理，我認為它是正確的，我要努力地去證明它；或者當我懷疑它時，我必須找到一個反例去駁倒它。

三、滲透哲學，提升學力，以潤澤生命

課堂上，羅老師帶領學生站在哲學的角度，基于理性的思考，指引學生做出經過審視的假設與推理，去尋找理性的本質。羅老師教會學生的是認識世界的一種方法，這是本課設計理念深邃性的體現。

師：今天的數學課和平時的數學課有不同的地方嗎？

生1：我們平時的數學課是不往里面挖的，直接讓我們自己去想。而這節課我知道了為什么3的倍數這樣判斷，知道了它里面究竟是什么意思。我覺得這節課我的收獲挺大的。

生2：平時的課是老師直接教我們方法，這次上數學課，我們是尋找它為什么要這樣做，就是刨根問底，所以我覺得按照挖掘深追的方法來學習的數學課收獲很大。

生3：其實我和他們的想法差不多，以前數學課我沒徹底明白為什么這樣分，特別是3的倍數，現在徹底明白了，收獲特別大。

想想，我們是怎樣去探究世界的？很多重要的發現，往往是從懷疑開始的，如果我們只是一味地相信某個道理，永遠不會有更多的發現，而質疑、探究就是我們認識整個世界的方法。在羅老師的引領下，那一個個善于思辨、對答如流的學生，猶如一個個小小哲學家。