凸顯模型價值學習方程概念
——特級教師張齊華《認識方程》片斷賞析

王鋒琴 錢建兵

片斷一：感受價值，建立關系

師：一個未知數，怎樣才能變成已知數呢？知道張老師今年多大嗎？

生：不知道。

師：既然不知道，那它就是個未知數，在座誰的年齡是已知數？

一學生示意他的年齡是11歲，教師在已知數下面板書：11。

師：現在，如果我告訴大家，我的年齡和他的年齡之間的某種關系，你能不能知道我的年齡？

生：（很肯定地）能！

師：（神秘地）偷偷告訴大家，如果把我的年齡減去20歲，還要比他大，誰知道，我今年多大？

生：不能確定。

師：看來，根據這一年齡關系，還沒法確定我的年齡，這樣吧，我再換一條試試：如果我的年齡減去30歲，就要比他小了。

生：還是沒法確定。

師：奇怪了，給你這樣的關系不行，那樣的關系也不行。那你們到底要知道怎樣的關系？

生：不能大也不能小，要正好相等。

師：好厲害的想法！那行，如果現在我告訴你們，把我的年齡減去25歲，正好和他的年齡相等。

生：36歲！

師：奇怪，三句話，同樣都告訴了“我的年齡”和“他的年齡”之間的關系，為什么前兩回都不行，而這回卻又行了呢？

生：因為前兩回只說了你的年齡減掉幾歲后，要么比他多，要么比他少，所以我們無法確定。但這一次直接告訴相差25歲。

師：說得真好！不過，數學問題，如果用數學的方式來觀察和思考，或許會顯得更清楚、更簡潔。張老師建議，下面我們試著把這三組關系，用含有字母的式子表示出來，看看大家會有什么新發現。

生：我發現，只有有了等號，我們才能知道未知數是多少。

師：可別小看這個等號哦，正因為有了它，我們才能夠在未知數x和已知數11之間建立起某種等量關系，并根據等量關系找到未知數的結果。像這樣，在未知數和已知數之間建立的等量關系式，我們就把它叫做方程。

【賞析：方程是建立未知與已知之間等量關系的模型。張老師立足于這一本質。以猜年齡的情境，引導學生將已知與未知建立聯系，在經歷兩次不等關系的“失敗”之后，已知與未知之間的等量關系呼之欲出，從而凸顯了方程的價值。這正是這一設計的獨特之處，特別注重方程的價值，也就是在解決問題的過程中建立等量關系，理解方程的意義，而不是為了方程而方程，方程的意義與解決問題相分離，使方程的意義退化成一堆堆無用的符號碎片，造成對方程的認識僵化。只有運用知識，才能體現其價值，才能讓其生動活潑起來。

學生在初步學習方程時，面臨最大的問題是：長期的算術思維困擾，總是將思維聚焦于如何去求得未知量，習慣于從問題出發或條件出發進行推理求解，而不是主要著眼于相應的等量關系。張老師將方程的認識立足于等量關系，突出等量關系在認識方程中的地位，方程沒有經過任何運算，只是闡述一個事實本身，一個沒有經過任何加工的事實本身。】

片斷二：豐富意義，深入認識

出示蘋果、西紅柿、西瓜、梨、草莓。

師：它們的質量都是未知數，有什么東西能使它們變成已知數嗎？

生：天平。

師：有了天平與砝碼就一定能知道它們的質量嗎？出示下圖。

師：觀察，哪些水果的質量已知，哪些未知？把你的想法在小組內說一說。

（學生交流）

師：2號也有天平與砝碼，為什么西瓜的質量我們沒法知道？

生：因為天平沒有平衡。

師：能不能說得專業一點？

生：因為2號天平中，未知數和已知數之間沒有建立起等量關系。

師：可3號建立了等量關系啊？

生：雖然建立了等量關系，但兩種水果的質量都是未知數，沒有已知數。

生：這里的未知數沒有和已知數建立等量關系。

師：通過剛才的學習，相信大家對方程已經有了初步認識。這些式子中，有方程嗎？

根據學生的回答整理出板書：

【賞析：這一環節的重點是讓學生掌握方程的形式化定義。定義在概念學習中是十分有用的，能夠減少學生通過正反例辨別概念相關屬性所付出的努力。重視方程的價值，并不是說方程的形式化定義不重要，而是這種定義要讓學生感受到其價值，學生才有學習的意愿。承接第一環節對方程有了初步認識之后，這里利用天平，再一次豐富學生對方程的認識，因為天平是等量關系最直觀形象的表達，直觀地表示出方程的實質是建立已知與未知之間的等量關系。由于有了天平作為由直觀情境向抽象的數學表達之間的一個過渡，利用純式子進行辨析方程的形式化定義就不那么突兀，學生易于接受。烏申斯基認為：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。”在一次次的比較辨析中，自然剝離了方程的非本質屬性，逼近了方程的本質，方程的概念呼之欲出。設計的練習采用正反例強化策略，緊緊圍繞方程意義中的要素——未知量和等式，科學合理。最后兩個變式設計新穎，在對第7題的判斷中，強化了未知量，第8題則強化了等式。】

片斷三：體會模型思想

學生分別列出4x=320。

師：觀察三道題，你發現了什么？

生：列出的方程都一樣。

師：奇怪，三個問題各不相同，怎么列出的方程是一樣的？

生：因為它們說的都是同一件事。

師：既然這樣，那你還能再找到一個問題，也能列出這樣的方程嗎？

（學生交流，匯報）

師：這樣的問題，能找到多少個？

生：無數個。

師：那這無數個問題，為什么只需要一個方程就能表示出來？

生：因為它們的數量關系是一樣的。

師：是啊，只要它們具有同樣的數量關系，無論多少個問題，一個方程就能概括。這就是方程的魅力所在。

【賞析：方程即模型，方程背后是建模思想。在這一環節，張老師精心設計了三個不同的情境，抽象出同一個方程。在為什么的反思中，學生剝離了具體的情境，意識到“說的是同一件事”，實質就是讓學生“去情境化”的過程，學生意識到這是一個模型。走出情境，是為了讓學生建立模型，進行數學化的過程。讓學生再找列出同樣方程的問題是又進入情境，是為了加深對模型的認識，也是數學化的過程。在數學與生活之間轉化，豐富學生的數學抽象思維，著力于思維的深刻性的培養】。