《封閉圖形中的植樹問題》教學思考

王立松 李 偉

一、教學前思

《封閉圖形中的植樹問題》是人教版小學數學教科書（2014版）五年級上冊新增加的內容，它是在教學沿著一定的線段路線植樹（兩端都植和一端植一端不植）之后的封閉圖形的植樹問題。對于新課改中增加的教學內容，我們在教學中要理解增加背后的意圖，把握教學的整體目標，在學生的經驗中尋找興趣點、提升點。

本單元《數學廣角》主要滲透有關植樹問題的一些思想方法，通過現實生活中一些常見的實際問題，借助線段圖等手段讓學生從中發現規律，抽取出其中的數學模型，然后用發現的規律來解決生活中的簡單實際問題，通過比較讓學生理解在封閉曲線上植樹與一端植一端不植中的植樹問題的聯系。

與原實驗教材相比，本次修訂后的《植樹問題》新增了《封閉圖形中的植樹問題》（新教材例3），將原來的“圍棋盤”（原實驗教材例3）移至練習二十四的第14題。另外，教材在“做一做”和練習中增加了“圓形滑冰場安裝路燈”和“項鏈上的水晶”等生活實際問題，一方面激發學生的學習興趣和探究欲望；另一方面幫助學生多角度、有效地體會和運用植樹問題的數學思想和方法。

二、教學過程

1.創設情境，引入問題。

師：同學們喜歡玩游戲嗎？

生：（齊）喜歡。

師：你們喜歡玩“搶凳子”的游戲嗎？（喜歡）

（6人和5張凳子，每次淘汰1人，誰最后還能坐到凳子誰就是冠軍）

師：從這個游戲中你了解到了哪些數學信息？

生：6個人搶5張凳子，就像我們前面學過的兩端都植樹的問題。

師：它們有什么相同之處和不同之處？

生：相同之處就是6人就相當于6棵數，5張凳子就相當于5個間隔數；不同之處兩端都植樹是一條線段，而搶凳子是首尾相接的曲線，如果從一張凳子拿開并拉直就是一條線段的植樹問題。

師：說得太好了，今天這節課我們就來研究《封閉圖形的植樹問題》。（板書課題）

2.多元表征，感知模型。

（1）出示例 3：

張伯伯準備在圓形池塘周圍栽樹。池塘的周長是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵樹？

你從題中知道了哪些信息？

這個植樹問題和以往的問題有什么不同？

（一個是線段，一個是封閉圖形）

師：就是這個問題，請用你喜歡的方法進行研究。

（2）借助操作，探究規律。

①初步體驗，化繁為簡。

師：我們用一個圓表示120米的池塘，每隔10米栽一棵樹，大家可以用自己喜歡的圖案表示樹，每隔10米栽一棵樹，照這樣一棵一棵栽下去……是不是很麻煩？

生：很麻煩。

師：為什么覺得麻煩？

生：因為120米里面有12個10米，畫起來比較麻煩。

師：我們可以先選取120米中一小段來研究。

②教師演示，直觀感知。

教師邊演示邊說明。

師：我們選取120米中的40米來研究。

用一個圓表示40米，每隔10米栽一棵樹。

如圖，我們把這個圓平均分成幾份？

也就是幾個間隔數？栽了幾棵樹？

③化曲為直，再度感知。

師：如果把圓拉直成線段，你有什么發現？

（發現封閉圖形和在不封閉圖形中的“一端栽一端不栽”中棵數和間隔數的關系是一樣的，都是棵數等于間隔數。）

（3）借助表格，驗證規律。

師：不用畫圖，如果這個池塘是 10米、20米、30米、40米……又應該栽幾棵樹呢？請同學們拿出學習紙，填寫表格。

（4）比較歸納，理解規律。

師：比較這兩種方法，你發現“封閉圖形中的植樹問題”中的間隔數和棵數有什么關系？

生：間隔數=棵樹。

（5）及時鞏固，強化規律。

師：同學們明白了封閉圖形中的植樹問題的間隔數和棵數之間的關系，老師出幾道題考考大家：6個間隔數種了幾棵樹？10棵數有幾個間隔數？操場周圍栽了8棵數，每兩棵樹之間的距離是25米，這個操場的周長是多少米？

3.回歸生活，實際應用。

（1）完成“做一做”。

出示“做一做”：圓形滑冰場的一周全長是150m。如果沿著這一圈每隔15m安裝一盞燈，一共需要裝幾盞燈？

師：用你喜歡的方法，解決這個問題。

（2）完成“練習二十四”第12題。

出示題目：一條項鏈長60cm，每隔5cm有一顆水晶。這條項鏈上共有多少顆水晶？

（3）張大爺在正方形魚塘邊上植樹，每邊等距離植樹10棵（四個角都植樹），每兩棵樹之間距離4米。魚塘的周長是多少米？

（4）20名同學在老師畫好的圓形場地周圍玩“丟手絹”游戲。開始的時候，他們每兩人間的間隔是2米。玩了一會兒，有12名同學被淘汰，剩下的同學繼續玩，間隔應改為多少米才公平？

（5）完成“練習二十四”第14題。

課件出示圍棋棋盤，并將最外層分別放3枚、4枚、5枚……學生畫圖填表并理解。

4.對比小結，暢談收獲。

（1）暢談收獲。

師：通過這節課的學習，你有什么收獲？

（2）對比小結。

師：回憶一下，“植樹問題”有幾種類型？每種類型中棵數與間隔數之間有什么關系？

三、教后思考

學生在學習本課前已經接觸了植樹問題，會解決在一條線段中的植樹問題（兩端都栽、只栽一端或兩端都不栽），了解了栽的棵數與間隔數的關系。本課主要研究封閉圖形上的植樹問題，重點是讓學生在頭腦中建立解決此類問題的模型，如何讓學生建立起封閉植樹和線段植樹的聯系是教學的關鍵。因此在設計教學時，主要通過學生課前預習，課上采用生活游戲引入、演示感官探索規律等，激活學生的生活經驗，動態反饋學生思維，溝通知識之間的聯系，有效地突破教學難點，主要表現為以下幾個方面：

1.關注學生學習的方式與方法。

學生在學習了例1和例2后，對植樹問題有了一定的經驗和基礎。在教學例3時，教師要引導學生認真觀察發現與前面植樹問題的相同點和不同點，再通過小組合作交流，自主探究，讓學生領會封閉圖形中植樹問題就相當于一端栽一端不栽的情況。

2.注重建立模型的對比與溝通。

學生學習植樹問題的難點之一就是容易將兩端都栽、一端栽另一端不栽和兩端都不栽三種情況混淆。在學習完例3后，教師引導學生將這三種情況進行了對比與溝通，把只有一端栽作為基本的模型，再與兩端栽或兩端都不栽的實際情況進行比較，便于學生理解和記憶。

3.培養學生運用的意識與能力。

通過基本練習（“做一做”和練習二十四的第12題）和變式練習（求魚塘周長、“丟手絹”游戲和練習二十四的第14題），培養學生靈活運用所學知識的應用意識和能力。求魚塘的周長是將封閉圖形中的圓形轉化成長方形；“丟手絹”游戲則是植樹問題數學模型的逆向應用，是讓學生發現和理解植樹問題中的“總長”、“間隔數長度”、“間隔數”和“棵數”之間的聯系；而棋盤中的植樹問題是從封閉圖形中的曲線到正方形，引導學生通過填表格，讓學生認真觀察、分析、思考，發現其中蘊含的規律，即“每邊放的棋子數”、“每邊間隔數”和“最外層總數”之間的關聯。