直觀表征：讓計算教學打上數學化的烙印

李春娟

摘 要：計算教學承擔著培養學生思維能力的重要任務。計算教學提倡并且強調算理的探索，算法的建構已經成為教學研究的共識。小學生的思維水平處于形象思維向抽象思維發展與過渡，扎實有效的計算教學離不開直觀表征的形式化，真正把握住算理和算法雙翼，促進數學化的認識。

關鍵詞：計算教學；直觀表征；算理；算法；數學化

計算教學承擔著培養學生思維能力的重要任務。在實際的計算教學中，我們強調算理的探索、算法的建構、規律的認識，這些都離不開計算中提供的直觀表征的形式化。實現兒童學習數學化的實際需要成為一種最大成功的標志。下面結合一些教學實例和分析，談談筆者的體會和做法。

■一、困惑——堅持只擺不移，失去牽引力。

一次教學研討活動，一個青年教師講述困惑：因為學生擺不成教材所給的圖示（如圖1左圖所示），需要教師自己非常生硬地引導為教材中的樣子。如何把學生的擺法引導到教材呈現的結果，這本身就是一個教學調控的問題，其實這就是學生思維是如何生發的軌跡。筆者提出反問：要是學生真擺成3捆放到一邊，不能把3捆放到4捆下面，那能很快得出結果嗎？是否需要再動一動，而這動一動的過程就是先算40+30=70，再算70+5=75，這里還可以肯定小朋友的操作經驗，能把整捆的先合并，再和單根合并，變成魔術一樣，變成幾十加幾十再加幾，就是轉化成了學過的整十數加整十數、整十數加一位數的加法。困惑在于需要建立具體運算到形式運算之間的過渡和解釋，經歷具體到抽象的過程，并完成數學化。再說教學對策，也可以采用比較，把學生擺的和教材所示的對比，再追問，為什么不同，需要怎樣去操作就行了，也同樣可以經歷過程，并完成數學化。由此，操作的模式化，經歷的數學化過程，就是思維的核心，對應相同計數單位計數，算法的抽象過程是從對象到結果的再現。

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圖1

由此引發的問題：（1）操作和演示，面向全體的演示，操作直觀中，觀察和操作分析，操作的本質是揭示具體運算到形式運算之間的過渡與發展，能否表象分析出過程程序性指令？（2）算珠圖演示操作，多種操作是互補、解釋，還是并列、遞進關系？（3）多樣化中是否要指出優化，是否真的被接受？（4）個體差異是“理解”通向“記憶”，還是“記憶”通向“理解”，練習中有反思的必要性嗎？（5）沒有操作演示，產生空隙，是數學知識內部的發展，而不是生活中建構支撐的說明，依靠邏輯本身的發展推動，而不是生活外部的動力。為什么只擺不移，這是否意味著失去了最大的牽引力？

因為該教師說出公開課后的困惑，筆者給出了處方，自己也面臨著去下藥的準備。課堂的應對、思考的意義就是把學生的思維如何真正地生發出來，成為牽引力，完成教學預設和生成之間的定奪。

■二、實施——忽略小棒選擇，還原制動力。

基于問題討論陳述和筆者個人的思考，看待教材的設置，如何過渡，幫助學生從直觀手段上突破對抽象算理的建立。學情分析，兒童的思維如何發生，直觀和動作思維，形式思維需要一個清晰呈現層次。帶著課前的思考筆者進行了教學實踐。

用筆者的課堂實際來說明，課堂上學生的反應是先想40+30=70，再想70+5=75，理由是根據算式之間的推想，建立在整十數加法的基礎上來推算出兩位數加整十數的方法，這樣的基礎是數的組成和數的順序，正確合理。接著補充，學生用計數器來撥，加30，要撥到十位上，對應撥，就是表示先算40+30=70。兩種方法都出現了，可是學生還沒出現小棒圖，基于算法的探索，學生從推理的角度演繹，從圖示的表征上聯結都是正確可行的，為什么學生不回到小棒圖了？有必要回到小棒圖嗎？筆者覺得有必要，所以在課堂上肯定了兩種方法后，就提出了還有一種方法沒想到，是什么呢？知道看書的小朋友立刻回答是小棒圖，于是大家一起去利用多媒體的演示擺圖去了，擺圖時先擺4個整捆和5個單根后，3捆擺了，怎么看出是75呢？顯然要移動，就表示對應擺，這樣對應擺就是正確的方法，也是關鍵，表示先算40+30=70，也是小朋友先推想得到的想法，再合著看，是75。這樣對應擺，對應撥，就是數學上的對應算，45+30時，十位上對應加。同樣處理45+3時，怎么擺，怎么撥，怎么算？有了算理的分析，直觀形象，抽象過渡，形式歸納，對應的思想深刻而簡單，透明而清晰。

■三、剖析——組織直觀材料，尋求支撐力。

教學中重視組織直觀材料，不僅是計算教學中算法探索的需要，也是學生堅持數學技能化的提醒。計算中錯誤的發生，回到最初學習的認識上，是非常有必要的。筆者想用兩個例子來說明一下。

一是筆者曾經教學三年級上冊兩位數除以一位數商是兩位數的除法，整個教學中學生對筆者的教學節奏非常不適應，連后面的“想一想、做一做”做得讓筆者都不忍心批閱，學生根本不理睬筆者采用的圖示來分解計算步驟，習慣用一個對應的法則來計算。后來，筆者把糾正放到對除法算式的意義上，分一分，記一記，減一減，程序性指令的設計才能解決每一個不同的算式步驟所需的一般操作方法求解的問題。

二是最近教學中，部分學習困難的孩子對于數字觀察比較模糊，或者學習的心向不足，對計算的厭倦反而助長了思維的不清晰。對于計算的錯誤，筆者讓幾個孩子訂正作業時，想一想當初學習的時候課堂上老師和大家是怎么分享意見的，結果學生很快便做對了。問過后，筆者知道了原來他們想到小棒圖或算珠圖了，返回到用直觀材料的組織上，再利用，不斷地再利用，也就順利解決錯誤了。

可見，計算教學中程序性的設計，操作化的指令是一個思維的導向的聯結，這種聯結依賴于學生頭腦中有可設計的材料，能夠組織化，而且還能得到自我糾正，提高元認知策略，尋求出來了支撐力，促進意義的建構。

■四、啟示——依托表征意義，架設平衡力。

針對直觀材料意義的組織，解釋、分解、化解、設計、轉化、對應、聯結的過程需要依托表征意義，實現學習的平衡力。對直觀材料的表征意義，需要對計算教學做出一些嘗試。

首先，直觀與抽象，突出意義。加法突出合并，減法突出去掉，乘法突出連加，除法突出連減，按群計數的遷移，這是程序性設計過程的大前提。如教學兩位數除以整十數時，40÷20商的書寫位置的確定，如何定位商，就要結合擺小棒圖，得到40里面有幾個20呢？分一分，看一看，想一想，從直觀的驗證上確立結果。分數的加減教學，同分母分數的加減也是通過正方形圖片，利用幾個幾分之一的分數單位來計量的。直觀通向抽象中，突出意義，把握住思維的起點源頭。

其次，探究與訓練，突出回歸。探究中需要利用直觀材料找到原型的依據，如小數的加減法計算，直觀中呈現出元、角、分對應的位置，對應的法則有一個背景和由來。練習鞏固中更是對學習探究到的知識和方法的檢驗，如對應乘法計算，把求幾個幾拓展到分數和小數的學習，再如除法計算，把求一個數里面有幾個幾，包含除，或是把一個數平均分成幾份，求每一份是多少，等分除，都能有符號的表示，而且可以借助操作演示，每一次的回歸是為了更好地向前躍進，有理想中的收獲。

最后，監督與內省，突出評價。計算教學中，面對學生計算中的錯誤，常規教學中提供機會展示，除分析道理外，還需要適當地建立評價機制。用送上小提醒的方式，來追問為什么錯了，應該怎么想？如教學一年級口算中，面對兩位數減整十數、一位數時，有學生要把兩位數減一位數也看成先減十位了，發生的錯誤，用一個規則道理說服不夠，課堂上學生說到了減的時候本來是要減個位的，這才是關鍵。

利用嘗試性的建議，回到上面引發的5個問題，算理的探索和算法的建構有著心理的扭轉與變化、適應與發展過程，體現出直觀到抽象之間形式化的運作，實物、替代、符號的使用抽象出模型，形成遞進式的思維方式，多樣中的優化是自然選擇的結果，“理解”和“記憶”反復之間是量到質的不斷變化，依靠數學思維內部流量加工成學習策略。

綜上所述，數學是思維體操，組織直觀材料的使用，可以促進計算教學中數學化的聯結。小學生的思維發展正處于直觀形象和抽象思維之間的過渡，重視直觀表征，自我搭建腳手架，幫助學生把握住算理和算法的雙翼，為數學發現提供了保障，開啟了數學化烙印。