巧借數學反例，提高學生思維品質

江蘇省蘇州市吳江區松陵高級中學 唐 健

巧借數學反例，提高學生思維品質

江蘇省蘇州市吳江區松陵高級中學 唐 健

本文從引入反例，強化數學概念的認識與應用；巧借反例，在復習鞏固中溫故知新；運用反例，幫助學生快速判定命題的正確與否；借助反例，培養學生數學發散思維能力四方面出發，探討了在高中數學教學中對反例教學的開展策略，以期能引導學生從反面去思考、解決問題，從而培養學生的逆向思維能力，提高學習效率。

高中數學 反例教學 數學思維

波利亞說：“類比和反例是獲得發明的偉大源泉?！痹跀祵W發展史上，反例和證明同等重要。在高中數學中，若能充分利用反例，則會發現數學的世界原來別有洞天。利用反例論證不但運算量小，而且具有說服力強的優勢，引導學生換個角度去思考和解決問題，培養學生的逆向思維能力，發展學生的數學思維。下面，筆者就結合具體的教學實例，從如下四方面對高中數學教學中反例教學的開展策略略談淺見，以供同行參考。

一、引入反例，強化數學概念的認識與應用

精練的數學概念無疑濃縮著數學思想與方法的精華，不管是培養學生良好數學思維品質，還是發展學生的數學思維，都離不開對數學概念的認識與應用。但在教學中，如果教師將這些抽象的概念、定義、法則等強制灌輸給學生，那么，失去了理解的基礎，死記硬背的方式只能是短時間的記憶，更別談將知識內化了。運用反例教學，可以加深學生對數學概念的理解，避免理解上的混淆，更好地強化對數學概念的認識與應用。

例如正切函數的一個重要性質：“在每一個區間上是增函數”，由于正切函數的定義域也是Z），因此有部分學生認為：“正切函數在整個定義域內是增函數”這個命題是正確的。為此，我們不妨引入反例，如果要想檢驗一句話正確與否，我們可以列舉出一個滿足該命題條件的反面例子來證明這句話是錯誤的。如圖所示，x取0，與x取π時，函數的值是相等的。第一個周期里的 tan45°與另外一個周期里的tan225°是相等的，這樣說明“正切函數在整個定義域內是增函數”這個命題就是錯的。正切函數的單調性只能在某一個周期內討論，在（-π/2+kπ，π/2+kπ）（k∈Z）上是單調的，但是在整個定義域R上不具有單調性。

可見，在數學概念、定理、法則的運用過程中，通過運用反例，可以避免繁瑣、抽象的推理論證過程，不僅大大節省了做題時間，也能給學生留下較為深刻的印象。

二、巧借反例，在復習鞏固中溫故知新

對命題的真假，學生往往習慣了從正面去證明，有時需要耗費大量的時間和精力去給予嚴密的證明，而面對假命題時，運用反例則能做到迅速鑒別，這是更正錯誤、否定謬誤結論的有效武器。課堂時間畢竟有限，而高中數學知識面廣泛，課堂安排緊密，運用反例教學則可以大大提高解題速度，又能幫助學生在反例的列舉中達到溫故而知新的效果。

例如有一道判斷題：“方程的解即為方程的根”，很多同學都認為這句話是對的，根就是解。為了讓學生認識到解與根是有區別的，我列舉學生在初中時學過的一元一次方程和高中才學的多元方程，對于一元一次方程來說，解與根沒有區別，方程的根也叫方程的解。而對于多元方程來說，方程的解就不能說成是方程的根，這時解與根是有區別的，根可以不成立，但解不可以。

可見，一些經典的反例教學題的運用能有效鞏固學生所學的數學新知識，提高了學生對知識的全面理解度。引導學生構建反例，往往能使學生在認識上產生質的飛躍，提高學生思維的縝密性。

三、運用反例，幫助學生快速判定命題的正確與否

判斷一個命題是否成立，一般的做法往往是直接從正面去證明。但有時候，如果直接從正面證明的話費時費力，還容易出錯，尤其是在證明這個命題為假命題時，如果通過反例來證明，反而更快速，也更容易讓學生接受，大大提高學生的解題速度。

例如，判斷命題“無理數的無理數次冪仍為無理數”是否成立。

對于這道判斷題，如果從正面去證明，短時間內是很難講得明白的。但如果讓學生以“挑毛病”的形式去舉出一個具體的反例來，反而更具說明力。在這個命題中，以無理數為例，如果是無理數，那么（等于2是有理數，這不就是一個最好的反例證明嗎？

再比如：判斷“子集是由原來集合中的部分元素所組成的集合”這句話是否正確。有些同學容易把全集理解為“全體”，子集理解為“部分”，誤認為此命題正確。但如果運用反例，我們只要舉例空集，空集是任意集合的子集，但空集中并不含有命題中所說的“部分元素”，一下子就能判斷命題是假命題。

可見，反例是否定謬論最直接的武器。學生列舉反例的過程，也正是學生鞏固所學內容，提高數學能力的過程。

四、借助反例，培養學生數學發散思維能力

發散思維又稱求異思維，其思維特點是具有逆向性、側向性和多向性，現為思維視野廣闊。在教學中，培養學生的發散思維有利于學生多方向、多角度地去思考、分析和解決問題。而反例教學，需要學生分清條件的充分性與必要性，且造反例帶有一定的技巧性，正是培養學生發散思維的一種很好的教學方式。

例如：已知f(x)是定義在R上的函數，且對于任意的a，b∈R都滿足f(ab)=af(b)+bf(a)，請問f(x)是否一定為常數函數？為什么？

對于此題，我們很容易想到f(x)=0是滿足題意的一個函數，但如果認為f(x)一定是常數函數，我們發現證明很困難。于是我們就嘗試從另一個角度來思考，即f(x)不一定必須是常數函數。為了支撐這個觀點，那就必須找出能夠證明這一觀點存在的反例。通過觀察本題中給出的式子構造，f(ab)=af(b)+bf(a)，具有一定的對稱性，所以我們可以嘗試對本式進行變形處理。當ab≠0時，我們可以令式子兩端分別除以ab，得到如下結果：我們取那么上式變為F(ab)=F(a)+F(b)，這個式子恰恰就是我們學過的對數函數的模型，顯然對數函數不是常數函數，我們找到了反例，從而得出結論，f(x)不是一定為常數函數。

我們還需要將F(x)的具體形式構造出來，并代入題意驗證。取F(x)=logax(a＞0，a≠1)，從形式上看，F(x)滿足題目中的條件，但是題目中的定義域是x∈R，目前我們的F(x)的定義域是x＞0，我們需要作出一些改變，取1)，此時，我們還有一種情況沒有考慮到，即x=0時，結合題目條件，我們可以令x=0時，f(x)=0，此時我們得到：

上述f(x)就是符合題目條件的反例，事實上，我們可以發現只要滿足下面式子的f(x)都是符合題目條件的反例。

c是任意非零常數。

可見，在上述案例中，不局限于既定的理解，能夠換個思考的角度去探索和解決問題，思維上的變通和開放反而讓我們的解題思路別有洞天！

綜上所述，反例是幫助學生強化數學概念、掌握定理、公式、提高數學思維能力的有效武器。我們教師不能簡單地視“反例”僅僅為“反例”，而忽視了反例在數學中應有的積極作用，只要我們能根據教學內容的需要，引入恰當的反例，換一個角度往往別有洞天！拋磚引玉，希望大家能從這篇小文章中有所收獲。

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[3]馮凌.反例在高中數學概念教學中的作用[J].中學數學研究.2014.21

[4]楊昌海.反例在數學教學中的運用[J].考試周刊.2012.17