靜電場中電場強度和電位關系式應用探討

劉 鑫， 張文祥， 趙志信， 馮進玫

(黑龍江科技大學 電子與信息工程學院， 黑龍江 哈爾濱 150022)

靜電場中電場強度和電位關系式應用探討

劉 鑫， 張文祥， 趙志信， 馮進玫

(黑龍江科技大學 電子與信息工程學院， 黑龍江 哈爾濱 150022)

電場強度；電位；應用條件

0 引言

靜電場是電磁理論的重要組成部分。靜電場的基本性質是無旋性，即

而任意標量場的梯度的旋度恒等于零，即

▽×▽Φ=0

所以可以認為對于靜電場來說一定存在標量函數Φ，它與電場強度的關系式為

(1)

下面以圖1中的線電荷為例，推導電位表達式。

線電荷的電場強度積分表達式為

(2)

圖1 線電荷

令

(3)

1 問題的引入

式(1)提供了一種由電位函數求電場強度的方法，但文獻[1-6]中都沒有強調它的應用條件。筆者在教學過程中發現學生采用此方法求解兩個例題時出現了矛盾和錯誤。為什么會出現這種結果呢？下面針對這兩個例題分別采用兩種方法進行求解來給予說明，解法一采用電場強度積分表達式(即式(2))，解法二是先由公式(3)求電位函數，再由式(1)求出電場強度。

例1 一個半徑為a、線密度為ρ的均勻帶電圓環，如圖2所示，求軸線上的電場強度。

圖2 均勻帶電圓環

[分析]由于帶電圓環的對稱性，其軸線上的電場只有z方向分量。

解2：由式(3)得

(4)

在圓柱坐標系中，

(5)

例2 將例1中帶電圓環改為半圓環，如圖3所示，求軸線上的電場強度。

[分析]由于半圓環關于x軸對稱，所以中軸線上的電場強度矢量包含z方向分量和x方向分量。此題采用式(2)和式(3)求解電場強度和電位函數時與例1區別在于積分區間的不同。……