巧用數形結合思想 完善學生數學認知

李德江

摘 要：進入中學之后，數學知識的理論性、抽象性逐漸增強，而此時學生的感性思維仍占主體思維，不少學生在學習的過程中往往會感覺到晦澀、難懂，導致學生的數學學習興趣較低、學習積極性不高，嚴重制約了數學教學活動的有效開展。教學中就需要教師能夠巧用數形結合思想，通過公式與圖形的有機結合、通過數字與實踐的充分理解來完善學生的數學認知能力，引導學生進行有效的數學知識學習。

關鍵詞：數學；數形結合；學生；認知；培養

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）03-194-01

“完全平方公式”要求學生會推導完全平方公式，并能運用公式進行簡單的運算，形成推理能力；利用多項式與多項式的乘法以及冪的意義，推導出完全平方公式，掌握完全平方公式的計算方法；培養學生觀察、類比、發現的能力，體驗數學活動充滿著探索性和創造性。教學中就需要教師能夠巧用教學引導，通過有效的數形結合、知識聯系來豐富學生的學習體驗，運用課下的實踐運用來鞏固學生的學習成果。

一、巧用問題引入，激發學生學習興趣

都說“好的開端是成功的一半”，在教學的過程中也是如此：良好的教學引導能夠更好的激發學生的學習興趣、提升學生的學習積極性。中學數學知識理論性強、對于學生的學習自主性、理解能力都有較高的要求。教學中就需要教師能夠巧用教學引導，激發學生的學習興趣。例如在“完全平方公式”教學中教師就可以運用小學時期的“兩位數乘法”來引導學生進行計算：從最簡單的15×15、25×25到95×95，讓學生進行計算。不少學生在計算的過程中仍然采用簡單的豎式乘法，計算速度相對較慢。教師在教學中就可以直接說出答案，讓學生進行驗算，以此來激發學生的求知欲望。此時教師就可以引入“完全平方公式”：（a+b）2=a2+2ab+b2。根據這個公式，15×15其實就是（10+5）×（10+5），即152=（10+5）2=102+2×10×5+52=100+100+25=225.同樣的道理，教師還可以引入（a-b）2=a2-2ab+b2：即152=（20-5）2=202-2×20×5+52=400-200+25=225.按照這樣的公式，95×95就可以進行簡便運算：952=（100-5）2=1002-2×100×5+52=10000-1000+25=9025.通過小學時期知識的融入運用，不僅能夠激發學生的學習興趣，還能夠降低學生的學習難度，加深學生的學習感知。

二、善用數形結合，豐富學生學習體驗

在上面的課堂導入中，完全平方是作為一個公式進行運用，進而提升計算效率的。傳統教學中教師只是簡單的引導學生進行公式的背誦，死記，而對于公式的原理很少對學生進行講述，學生只“知其然而不知其所以然”，導致不少學生對于公式（a+b）2=a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b2的原理不了解，只是簡單的背口訣，這就容易學生在運用的時候混淆。教學中教師就可以運用數形結合的教學策略來豐富教學內容（如圖），教師就可以引導學生通過正方形、長方形面積的計算來引導學生進行公式的推導，通過圖形的展示來引導學生進行公式的理解與記憶，讓學生能夠感受到知識的形成過程，進而豐富學生的學習經驗、提升課堂教學的趣味性。通過圖中的標示，學生能夠明確的認識到邊長為（a+b）的正方形面積是由邊長為a的正方形、邊長為b的正方形以及2個長寬分別為a/b的長方形組成的，這就為（a+b）2=a2+2ab+b2這一公式提供了直觀的圖形演示，很好的加深了學生的學習感知，豐富了學生的學習體驗。

三、注重知識聯系，完善學生數學認知

數學是一個規律性較強的學科，知識點之間相互聯系、相互影響。教學中就需要教師能夠注重對于學生知識體系構建的引導。因為學習的過程是一個學生自身認知能力不斷提升、思維技能不斷豐富的過程，教學中就需要教師能夠不斷的豐富教學策略，加深學生的學習認識。教學中教師也要善于運用知識之間的相互轉換、知識之間的規律來引導學生進行相關內容的總結與歸納。比如在教學完全平方公式轉換的時候，教師也可以采用相似的教學策略，引導學生通過圖形的觀察來了解相關的公式特點：例如（a+b）2其實是4個ab面積加上（a-b）2的面積組成的，即（a+b）2=（a-b）2+4ab，反過來講就可以得到（a-b）2=（a+b）2-4ab，還可以得到（a+b）2-（a-b）2=4ab，通過圖形的演示，學生能夠簡單明了的知道這些原理，進而更好的提升學生的學習積極性，讓學生的數學知識學習顯得更為趣味多彩、更加容易理解。

此外教師還可以例舉相關的應用題讓學生進行計算、探究，通過學生學生的實踐、運用來鞏固他們的學習成果，豐富學生的學習體驗。例如已知實數a、b滿足（a+b）2=10，ab=1。求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）（a-b）2。

分析：此例是典型的整式求值問題，若按常規思維把a、b的值分別求出來，非常困難；仔細探究易把這些條件同完全平方公式結合起來，運用完全平方公式的變形式很容易找到解決問題的途徑。

解答：（1）原式=（a+b）2-2ab=10-2=8。

（2）原式=a2-2ab+b2=（a+b）2-4ab=10-4=6。

四、做好課下運用，鞏固學生學習成果

我們知道，作業是檢驗學生學習成果的重要形式，也是引導學生進行課下復習的基本手段，傳統教學中的“題海式”作業很大程度上的抹殺了學生的學習興趣，導致學生對于數學學習的恐懼、反感。在新時期就需要教師能夠從學生的學習興趣入手，從學生的生活經驗入手，善于引導學生通過數學學習進行生活問題的解決，通過生活問題的解決加深學生的學習印象，實現作業的真正價值。例如教學之后教師就可以引導學生計算99992。這些在沒有接觸完全平方公式的時候是一個巨大的計算項目，而在學習了完全平方公式之后，我們就能夠簡便的進行計算，甚至是999992、9999992，我們同樣可以簡便進行計算。此外教學中教師還可以引導學生通過小組之間的交流、小組之間的總結，更好的豐富學生的學習經歷，鞏固學生的學習基礎。讓學生能夠在相互交流中豐富自己的學習認知、在給其他同學講解的過程中完善自身的語言組織能力與知識體系構建。

總之，數學教學中需要我們尊重學生的學習主體地位，認識到學生的認知基礎，不斷豐富教學模式、不斷改進教學策略，引導學生全面發展、健康成長。