關于相位比較法測聲速的研究

鄧小輝，賀詩榮

(衡陽師范學院 物理與電子工程學院，湖南 衡陽 421002)

關于相位比較法測聲速的研究

鄧小輝，賀詩榮

(衡陽師范學院 物理與電子工程學院，湖南 衡陽 421002)

聲速測定實驗因為涉及到多種理論和實驗方法的結合，從而成為力熱實驗中的一個重要的綜合性實驗。論文嚴格推導出聲位移駐波的波節附近的聲壓駐波可以化為一行波，從而實現從駐波場中經換能片輸出一行波，通過比較其相位測定聲速。解釋了聲速測定實驗中長期存在的疑惑，通過實驗測量驗證了理論推導結果的正確性。

聲速測定，相位比較法，駐波，行波

0 引 言

測量聲速有很多種方法，而高等師范院校物理學專業的力熱實驗或者面向普通理工科學生開設的大學物理實驗，通常采用相位比較法來測量聲速。此方法涉及到眾多物理知識的融合，從理論基礎和實驗技能都有涉獵，是一個很好的培養學生基本實驗技能，鍛煉學生綜合理論和實踐能力的一個很好的實驗方案。一直以來，聲速測定實驗都是很多綜合性大學物理學專業和其它理工科學生必修的一個綜合性實驗。

聲速測定實驗原理圖如圖1。實驗儀器包括，聲速測定儀(SW-1型)，雙蹤示波器和函數信號發生器。從函數信號發生器中引出兩列余弦信號(也可以是其它信號)，一列直接輸入到示波器的一個通道(Y)，一列通過換能片S1和S2后輸入到示波器另一個通道(X)。顯然，Y通道的信號為來自函數信號發生器的信號；而X通道的信號，在通過換能片S1和S2之間區域時，會發生復雜的波的干涉，因而換能片S2接受到的信號，無論是其相位還是強度都將變得復雜。所謂相位比較法，就是通過比較來自X和Y通道接受到的信號的相位來確定行波的波長，從而測出聲速。

傳統的利用相位比較法來測定聲速有多種實現途徑。例如，楊述武先生主編的《普通物理實驗》教材中[1], 一個行波信號直接由信號發生器輸入到示波器的X端，另一個行波信號由裝有錐形吸音體的耳塞輸入到示波器的Y端，通過比較X和Y兩個通道的信號的相位來確定聲波的波長，從而測定聲速。這樣的方法很好理解, 因為X和Y端接收到的信號都是行波信號。又如朱俊孔先生等主編的《普通物理實驗》教材中[2]，一個行波信號也是直接由信號發生器輸給示波器的X端，另一個信號由換能器S2輸給示波器的Y端，但為了使S2輸出的另一個信號是行波信號，需微調S2，使其不平行于S1，使入射波和反射波不疊加。當然，我們也能理解這一測量方法。但是，在學生實驗過程中，卻發現不需微調S2使其不平行S1，即使S2與S1嚴格平行，也能從S2輸出一個信號，通過比較其相位，測出聲速來。正如我們前面講過的一樣，信號在通過換能片S1和S2之間區域時，會發生復雜的波的疊加，如果調節S1和S2到合適的距離，從S1向左傳播的波和從S2返回的波會發生疊加從而形成穩定的駐波[3]. 實驗時，我們也確實是需要在S1和S2之間形成駐波時才能在示波器中觀察到X通道的穩定的信號，從而與Y通道的信號來比較相位。但是，在S1和S2之間形成了駐波的情況下，為什么從駐波場中經S2輸出一個信號，也能與一個行波比較相位，從而測定聲速呢？可以預見，通過換能片S2獲得的應為一列行波信號，從而才能與X通道接收到的行波信號比較相位。本文從理論上證明聲波位移駐波的波節附近的聲壓駐波確實可以轉化為一行波，從而解決了長期以來在實驗教學中存在的疑惑。

圖1 聲速測定實驗原理圖

1 理論推導

設函數信號發生器信號源輸出信號(電壓信號)為U=U0cosωt，那么示波器Y端接收的信號為UY=U0cosωt。同時，換能片S1在信號的帶動下振動，并帶動S1和S2之間的空氣振動，從而使換能片S2亦振動。可見，換能片S1和S2都不能視為理想的剛性平面，因此波經過換能片S2表面反射伴隨著半波損失。取S1表面為坐標原點O，x軸正方向為向左，S2的位置設為x0(如圖1)。沿x軸正向傳播的入射波為

y1=Acos(ωt-kx-φ0)

(1)

式中φ0為波從信號源經S1傳到原點O落后的相位，實驗時可以測出。入射波在x0點的振動方程為

y1|x0=Acos(ωt-kx0-φ0)

(2)

在x0點經S2反射后，反射波在x0點的振動相位與入射波的振動相位相反，故有

y2|x0=Acos(ωt-kx0-φ0+π)

(3)

反射波沿x軸負向傳播，所以反射波波方程為

=Acos(ωt+kx-2kx0-φ0+π)

(4)

S1和S2之間，入射波y1和反射波y2發生疊加，因此其疊加波的波方程為

y=y1+y2

=2Asin(kx-kx0)sin(ωt-kx0-φ0)

(5)

如選取S2所在位置x0滿足kx0=iπ(i=0,1,2…)，則有

y=2Asin(iπ-kx)sin(iπ-ωt+φ0)

=2A(-1)i+1sin kx(-1)i+1sin(ωt-φ0)

=2Asin kxsin(ωt-φ0)

(6)

上式即為聲位移駐波的表達式。顯然，位移駐波的波節滿足kx=iπ(i=0,1,2…)。

現在我們來討論上述聲位移駐波的能量(聲壓)情況。伴隨著位移入射波和反射波，設其對應的入射波和反射波聲壓為P1和P2，它們與位移駐波y1和y2的關系為

(7)

=ρAvωsin(ωt+kx-2kx0-φ0+π)

(8)

其中ρ為空氣密度，v為聲速。疊加后的聲壓為

P=P1+P2

=2ρAvωcos(kx-kx0)cos(ωt-kx0-φ0+π/2)

(9)

和聲位移駐波類似，同樣選取S2所在位置x0滿足kx0=iπ(i=0,1,2…)，化簡后得到的聲壓駐波的表達式為

P=2ρAvωcos kx cos(ωt-φ0+π/2)

(10)

上式即為聲壓駐波的表達式。顯然，位移駐波的波節處正是聲壓駐波的波腹。

Pi=2ρAvω(-1)icos(ωt-φ0+π/2)

=2ρAvωcos(ωt-φ0+π/2+iπ)

(11)

2 實驗部分

(12)

其中λ、f、v和v0分別為波長、頻率、聲速和0 ℃下的聲速(取為331.45 m/s)。實驗前，仔細調節函數信號發生器的頻率，使其與換能片的本征共振頻率一致，發現f當為39 942 Hz時能達到共振，實驗時，環境溫度為28 ℃。計算得到xi的值列于表1。實驗上，我們也測量了X端和Y端接受到的兩列行波處于同、反相位時的坐標值xi′，也列于表1。為了量化理論值偏離實驗值的幅度，我們計算了其相對偏差E1，可見，同、反相位點的理論值相對其實驗值的偏差在實驗允許的范圍內。這表明了我們考慮兩行波存在2φ0的相位差和半波損失具有充分的事實依據。從同、反相點坐標的實驗值偏離位移駐波節點坐標實驗值來看，他們之間的偏差也是很小(E2)，說明(11)式表示的聲壓行波可以用于相位比較法來測定聲速。

最后，從表1可以看出，同、反相點坐標的理論值和波節坐標的實驗值(xi″)的偏差(E3)也在實驗允許的誤差范圍內，這與實驗時的觀測現象相符：兩行波在波節附近達到同相位或反相位。這時，(11)式表示的聲壓行波的振幅不是最大，但仍然可用用其表示的行波，通過相位比較法來測定聲速，這也說明了上述理論推導的正確性。

表1列出同、反相位點的理論值xi和實驗測量值xi′，位移駐波波節點的實驗測量值xi″，單位為mm。E1=(xi-xi′)/xi′×100 %，表示同、反相位點的理論值相對其實驗值的偏差；E2=(xi′-xi″)/xi″×100 %，表示同、反相位點的實驗值相對位移駐波波節點實驗值的偏差；E3=(xi-xi″)/xi″×100 %，表示同、反相位點的理論值相對位移駐波波節點實驗值的偏差。n為波節個數。

表1 同、反相位點的理論值和實驗值

3 結 論

因為涉及到多種力、熱學理論知識和實驗技能, 聲速測量實驗能極好地鍛煉學生的理論聯系實際能力和綜合分析能力，也是很多高校必開的一個物理實驗。然而在實驗過程中繞不開的一個疑惑就是：如何來比較相位, 比較的又是什么波的相位。本文從理論出發，推導出了雙換能片之間形成的聲位移駐波及其聲壓駐波的解析表達式, 更為重要的是，我們嚴格證明了在聲位移駐波波節附近，聲壓駐波為一行波解析式，說明在各個波節鄰域內，換能片S2接收的信號實為一行波信號。成功解釋了長期以來實驗上存在的可以用比較相位來測定聲速的實際困惑。最后，我們測量了相關數據，驗證了我們理論推演的正確性。因此，無論是從理解聲速測定實驗，還是對聲速測定實驗儀中的換能片的設計，本文都具有重要的參考價值。

[1] 楊述武. 普通物理實驗(力學與熱學部分)[M]. 4版.北京：高等教育出版社,2007: 139-142.

[2] 朱俊孔.普通物理實驗[M]. 濟南：山東大學出版社, 2001.

[3] 趙近芳，王登龍.大學物理學(上) [M]. 4版.北京：北京郵電大學出版社,2014: 148-176.

(編校 高 峰 實習生 郭齊旗)

On Sound Velocity Measuring of Phase Comparison Method

DENGXiao-hui,HEShi-rong

(College of Physics and Electronic Engineering,Hengyang Normal University,Hengyang Hunan 421002,China)

Due to involve the combination of a variety of theoretical and experimental methods, Sound velocity measurement thus becoming an important comprehensive experiment of university physics experiment even mechanics and heat experiments.The paper rigorously derived that an acoustic pressure wave nearby nodes of acoustic displacement wave could be translated to a traveling wave,thus to measure the sound speed through comparing the phases after outputting an traveling wave sign from the standing wave field.The paper explains the long-term existence of the sound velocity measurement experiment.Finally,we have verified that the correction of our theoretical deduction by experimental measurement.

sound velocity measurement; phase compare method; standing wave; traveling wave

2016-09-09

衡陽師范學院教學改革研究項目(JYKT201634); 衡陽師范學院大學生研究性學習和創新性實驗計劃項目(cx1422)；教育部高等學校特色專業建設項目(TS11635)

鄧小輝(1979-)，男，湖南常寧人，高級實驗師，在讀博士，主要從事物理實驗教學工作。

O422.1

A

1673-0313(2016)06-0084-04