混沌實驗分層教學探究

羅湘南， 唐建鋒

(衡陽師范學院 物理與電子工程學院，湖南 衡陽 421002)

混沌實驗分層教學探究

羅湘南， 唐建鋒

(衡陽師范學院 物理與電子工程學院，湖南 衡陽 421002)

混沌實驗是學生了解非線性科學的重要教學內容。在教學實踐中，我們分三個層次循序漸進開展實驗教學，即觀察生活中的混沌現象、觀察蔡氏電路混沌現象、初步探究蔡氏電路混沌現象產生的原因。實驗教學收到了良好的效果，學生對混沌現象的特點、產生原因有了較深入的認識。

混沌現象；蔡氏電路；混沌吸引子；非線性負阻

1 引 言

混沌是在確定的非線性動力系統中出現的一種對初值敏感的貌似無規則、類似隨機的現象，它是非線性動力系統所特有的復雜現象，在自然界和社會生活中普遍存在。現在，“混沌”是近代理論研究熱點，已經形成了一門新的科學，它涉及的領域包括數學、物理學、生物學、化學、天文學、經濟學及工程技術的眾多學科，研究成果產生一些實用價值，并對這些學科的發展產生深遠的影響。有預言，混沌理論將掀起繼相對論和量子力學以來基礎科學的第三次革命[1]。

在理工科教學中，緊跟現代科技前沿，適當增加非線性內容教學非常必要。為此，我校在近代物理實驗中開設了《混沌實驗》，開拓學生視野。學生長期學習牛頓經典理論，知道物體的初始狀態和受力情況就可以預測物體未來的狀態，這與混沌理論的運動狀態不確定不可預測完全沖突，為了解決這種沖突，取得好的教學效果，我們通過三個層次進行教學，讓學生對混沌現象、成因及特點逐步形成深刻的印象。

2 混沌現象的感性認識

事實上，混沌現象普遍存在我們的自然和社會生活。所以，在課堂教學前，我們先讓學生觀察生活中的混沌現象。例如，觀察點燃的香煙，一縷縷青煙離開煙頭幾乎直線往空中升起，突然卷成擾動的一團煙霧，上下翻滾，然后四處飄散；觀察平穩的水流突然四處飛濺等，通過仿真試驗教學平臺讓學生觀察三叉混沌擺的完全不同步隨機的擺動視頻等[2]，總結所觀察的現象的特點。再讓學生閱讀有名的“蝴蝶效應”等資料，通過這些學習，大部分同學都能發現這些現象共同點是突然從有序變為無序，認識到牛頓力學的局限，形成混沌現象感性認識，初步了解混沌的基本特點。

3 蔡氏電路混沌現象觀察

在實驗課堂學習中，讓學生觀察蔡氏電路的混沌現象，蔡氏電路結構如圖1。該電路能展示混沌產生的過程，混沌吸引子的動態也很明晰。有源非線性負阻元件Nr是采用兩個運算放大器(一個雙運放LF353)和六個配制電阻來實現，其電路如圖2所示，雙運算放大器中兩個對稱放大器各自的配置電阻相差100倍，這就使得兩個放大器輸出電流的總和，在不同的工作電壓段，輸出總電流隨電壓變化關系不相同(其中一個放大器達到電流飽和，另一個尚未飽和)，因而出現了非線性的伏安特性[3]。實驗中我們主要觀察信號振動周期產生分岔和混沌等一系列非線性現象，深入了解混沌現象的主要特點與混沌現象的產生途徑。

圖1 蔡氏電路

圖2 非線性負電阻的內部結構

3.1 混沌產生途徑觀察。

混沌現象產生途徑一般有倍周期分叉和陣發混沌。觀察前，按圖1和圖2接好電路，示波器選擇X -Y工作方式。調節G(R1+R2和組成，R1為粗調，R2為細調)，阻值從最大逐漸減小，觀察李薩如圖的變化，如將一個環相圖周期定為一，隨著G阻值的減少，相圖變化過程為：不動點→一倍周期→二倍周期→四倍周期→陣發混沌→三倍周期→單吸引子→雙吸引子→極限環→直線。相圖變化過程見圖3。在三倍周期處，仔細調節R2，原先的混沌吸引子突然出現了一個三周期圖像，繼續微調R2，又出現了混沌吸引子，這一現象稱為出現了周期性窗口。實驗過程我們看到，電路先產生豐富的倍周期分岔，在三倍周期處，出現周期性窗口進入混沌狀態，倍周期分岔是非線性確定性系統通向混沌最典型的形式。

3.2 混沌現象的特性觀察。

1.對初值的敏感依賴。混沌的典型特征之一是對初值非常敏感。若兩次運動的初值有微小差別，長時間后兩次運動會出現較大的、無法預知的偏差。

圖3 通往混沌的相圖順序

圖4 通往混沌的時域圖順序

在上面的實驗步驟中，當電阻調到某些臨界狀態時，如G=1 850時，微調R2，電路系統可出現陣發混沌，也可能出現三倍周期，還可能是單奇異子。另外如果在電路中加入萬用表測G兩端電壓的有效期，屏幕的相圖馬上突變，有一倍周期突變為單吸引子，或雙吸引子。這是由于萬用表引入的電阻及電容效應，對電路產生細微的擾動，結果，因這些微小的差別造成實驗結果的突變。

2.混沌信號的非周期性與分形。實驗時，仔細觀察圖3的單吸引子、雙吸引子，只見環狀曲線在兩個向外渦旋的吸引子之間似乎按照某種規律不斷地填充與跳躍，可是在有限的空間里，跳動的曲線卻不重復，也不會在吸引點附近交叉，總看不到曲線跳動填充運動的停止，一圈一圈填充的曲線形狀很相似，相似的曲線填充運動永無休止，體現了混沌運動的非周期性以及分形特點。從填充運動的方向看，一切位于吸引子之外的曲線填充運動都在向吸引子靠攏，因而，曲線不停填充的空間不向外擴張，填充區域整體不變，呈現穩定的狀態，而一切到達吸引子內部的曲線填充運動都相互排斥，不停地跳動，處于不穩定狀態。吸引子這種非周期性與分形結構，體現了混沌不是絕對無序，而是呈現非周期有序性。

3.混沌信號具有內在的類噪聲性。將示波器置于時域模式，重復上述步驟，各周期的CH1和CH2的時域信號如圖4的9個分圖所示。實驗時，仔細觀察比較，一倍周期信號的基本波形形狀與周期加倍之后乃至混沌信號的基本波形形狀相同，周期加倍主要引起波形包絡線的變化，引起這些包絡線變化的正是類似噪聲的無規則振蕩，但它不同于真正的噪聲，仔細觀察時域信號圖，我們發現信號從點平衡態演變混沌信號的過程中，混沌信號中的這些類噪聲的頻率對平衡態信號頻率還是有一定繼承性。因而混沌中的這種類似噪聲的信號不是真正的噪聲，而是一種有內在規律的隨機信號。

4 蔡氏電路混沌現象的產生原因

通過對蔡氏電路混沌現象的觀察，學生對混沌的特性有了清晰地認識，但對所觀察到的混沌現象演變原理，非線性動力系統的作用機制，沒有實踐體驗。在蔡氏電路中唯一非線性元件為負阻，為了弄清非線性負阻對蔡氏電路產生混沌現象的作用，我們先測量負阻的伏安特性，再同步觀察蔡氏電路信號不同相圖下負阻的伏安特性，來探究混沌現象演變與非線性動力的關系。

測量伏安特性曲線的電路如圖5[4]所示:把非線性負阻Nr與一個1千歐姆定值電阻R串聯后用信號發生器輸出的正弦波作電源驅動，用數字示波器觀察定值電阻R兩端的電壓和Nr兩端電壓構成的李薩如圖形，即可得到Nr的I-U特性。我們在500 Hz頻率的正弦波信號掃描下，得到的I-U特性曲線如圖6所示，以后頻率增加至2 700 Hz時(發生混沌時的主頻率附近)，I-U特性曲線形狀不變。然后按圖7所示用示波器觀察C1與C2處信號構成的相圖，用交流數字電壓表和電流表觀察非線性負阻的電壓和電流。調節G逐漸減少，觀察到的各種混沌現象與非線性負阻的電壓與電流情況見表1。

圖5 測Nr伏安特性電路

圖6 Nr伏安特性曲線

圖7 相同與Nr的U-I觀察電路

相圖Nr的電壓與電流的變化范圍在圖6伏安特性的位置不動點(-11.98V,5.2mA)到(-7.64V,3.63mA)之間。每個G,對應一組穩定的(V,mA)大約位于BC段上面部分一倍周期(-7.72V,3.73mA)到(-6.65V,3.27mA)之間。每個G,對應一組穩定的(V,mA)大約位于BC段中間部分二倍周期(-6.618V,3.27mA)到(-6.59V,3.26mA)之間。每個G,對應一組穩定的(V,mA)大約位于BC段中間部分四倍周期(-6.45V,3.20mA)到(-6.34V,3.17mA)之間。每個G,對應一組穩定的(V,mA),相圖能處于四倍周期,G的變化范圍很窄。大約位于BC段下面部分,陣發混沌(-6.37V,3.18mA)到(-6.17V,3.09mA)之間。每個G,對應一組穩定的(V,mA)。相圖能處陣發混沌態時,G的變化范圍很窄。大約位于BC段接近O點處小部分

續表

相圖Nr的電壓與電流的變化范圍在圖6伏安特性的位置單吸引子(-6V,2.99mA)到(-1.64V,-0.23mA)之間。G不變,電表的數值變動,不穩定。大約位于BCOD段雙吸引子(-6V,3.22mA)到(5.8V,-2.5mA)之間,G不變,電表的數值快速變動,不穩定。大約位于BCODE段

實驗中，沒有觀察三倍周期相圖。數據表明四倍周期和陣發混沌的伏安區有重疊，此處在前期試驗中觀察到周期窗口，說明此處進入產生混沌的臨界狀態。由上表的數據可知: 非線性負阻的I-U工作在不同的區段，電路的相圖呈現不同的狀態，當蔡氏電路出現單吸引子混沌現象時，Nr的伏安曲線處于圖6中B、C、O、D段或處于C、O、D、E段，當蔡氏電路出現雙吸引子混沌現象時，Nr的伏安曲線處于圖6中B、C、O、D、E段。實驗表明，當Nr工作在整個伏安區即呈現非線性特性時，電路信號進入混沌狀態。因而非線性負阻在蔡氏電路產生混沌過程中起的決定性作用，非線性動力是混沌現象產生的根本原因。

5 總 結

通過分層教學法學習混沌實驗，學生突破了以前學習經典理論時所形成的傳統認知，對無序混亂不確定混沌現象及產生的機制——非線性動力，有了較深入的認識,整個實驗教學效果良好。

[1] 蔣達婭,肖井華,朱洪波,等.大學物理實驗教程[ M].2版.北京:北京郵電大學出版社,2007.

[2] 張連芳,傅敏學,劉瀅瀅，等. 混沌實驗教學之路[J]. 物理與工程，2013，23(1)：21-24.

[3] 王殿學.蔡氏電路中混沌現象與非線性電阻伏安曲線關系的研究[J]. 遼東學院學報(自然科學版),2010,17(4)：318-320.

[4] 羅頁,樂永康.蔡氏非線性電路的深入研究——參數測量和實驗現象觀察的新方法[J]. 大學物理, 2010,29(6)：53-57.

(編校 高 峰 實習生 郭齊旗)

Research the Way of Layered Education for Chaos Experiments

LUOXiang-nan,TANGJian-feng

(College of Physics and Electronic Engineering,Hengyang Normal University,Hengyang Hunan 421002,China)

Chaos experiment is an important teaching content for students to understand the Nonlinear science.In teaching practice,we have teached student three levls step by step.they are Observeing Chaos in life,Observeing Chaotic phenomena of Chua's circuit and Researching the root cause of Chaotic phenomena.Experimental teaching has received good effect,student can have a deep understanding of characteristics of phenomena and the nonlinear driving force of Chaotic phenomena in the Chua's circuit.

Chaotic phenomena; Chua's circuit; chaos attractor; nonlinear resistance

2016-10-08

衡陽師范學院教學改革研究項目(JYKT201431)；光電信息省級平臺開放項目(GD14K11)；光學—湖南省重點建設學科，電子信息類專業校企合作創新創業教育基地

羅湘南(1970-)，女，湖南衡陽，高級實驗師，碩士，從事大學物理實驗教學與研究。

O0413.1

A

1673-0313(2016)06-0080-04