高中數學排列組合之列隊問題方法探究

朱四樣

摘 要：排列組合是一門源遠流長的古老數學知識。在近幾十年里，排列組合已經能夠解決一些具有挑戰性的問題，并且可以跨領域運用到物理學、生物學、化學等不同的學科研究中。同時排列組合也是高中數學中比較困難的一個版塊知識。對排列組合的經典題型——列隊問題解題方法進行探究，希望能給排列組合問題的解題策略與方法一點借鑒與思考。

關鍵詞：高中數學；排列組合；解題方法

排列組合是組合學中最基本的概念，而排列指的是從指定元素中取出指定數量的元素進行排序，組合則是指從指定元素中取出指定個數的元素而不用考慮順序。排列組合簡單來說就是算出可能情況的總數。在高中階段的排列組合問題中，雖然是依據分析計算，但是在考慮元素情況時經常會因考慮不全面而產生丟落和重復計算的情況。再加之排列組合問題相對比較抽象，因此在解題時常常不知從何下手。本文將對排列組合的基本原理進行闡述，并選取幾道經典的列隊題目對排列組合的解題方法進行探究。

一、列隊問題的思維模式

在解決高中數學排列組合列隊問題時，主要從兩個方面進行分析，一是這個問題是單排問題還是多排問題；二是這個問題是單一條件限制問題還是多條件限制問題。如果是單一的條件限制問題那么就用單一的解題策略如捆綁法、插空法等加以解決；如果是多條件限制問題就要考慮幾個方面，綜合運用一些策略與技巧，綜合性問題一般既有分步計數原理又有分類加法計數原理，分類時要考慮會不會重復或者遺漏，如果正面不好思考一般可以考慮問題的反面。如果是多排問題我們一般轉化成單排問題后進行分段研究即可。

二、列隊問題的關鍵詞

在解題時，應注意一些關鍵詞，這往往是解決列隊問題的突破口。

1.“鄰”與“不鄰”問題

例1.7個學生站成一排，甲乙必須相鄰的站法有幾種？

這道題中的關鍵詞“相鄰”告訴我們這道題屬于單一條件限制列隊問題，需要我們采用捆綁的方式解決。這樣我們可以先把甲乙看做一個“大胖子”。接下來需要用分步來解決，第一步我們需要給“大胖子”選擇位置，由于甲乙捆綁成大胖子看成一個人，那么問題轉變成6個人的列隊問題，甲乙捆綁而成的這個大胖子可有C16=6種，剩下的5人由于沒有限制條件，可進行有序排列，即A55=120種。第三步我們需要考慮被視為大胖子的甲乙兩人的排序，即A22=2種。最后根據分布計數原理這道題的答案即為這三步方法數的乘積即C16A55A22=1440種。

2.“在”與“不在”問題

例2.7人站一排，甲乙不在兩端的排法有幾種？

這道題的關鍵詞在于甲乙“不在”兩端，因此我們可以首先考慮安排甲乙兩個人，總共有七個位置，由于甲乙不能站在兩端，那么中間剩下的五個位置都是甲乙可以站的，所以共有A25種方法，第二步考慮剩下的五個人的列隊問題，由于剩下的五個人沒有任何限制條件所以排好這五個人的方法數為A55，最后根據分步計數原理得出這道題的答案為A25A55=2400種。

3.多條件限制問題

以上兩個問題限制條件比較單一，還以7人站一排的經典列隊題為例，我們可以改裝成多條件限制問題：例3.7人站一排如果要求甲乙必須相鄰且甲乙不在兩端的排法有幾種？

我們還是把甲乙兩個人捆綁看成一個大胖子，第一步我們先把兩端的位置排好，共有七個人去掉甲乙這個大胖子那還剩下五個人，在這五個人里選兩個人排在兩端共有A25種方法，第二步把剩下的位置排好，由于甲乙看成一個大胖子相當于剩下四個位置要排共有A44種方法，最后一步甲乙這個大胖子還可以交換位置有A22種方法，根據分步計數原理這道題的答案是A25A44A22=960種。

若再增加限制條件題目難度隨之增加，例4.7人站一排甲乙必須相鄰且甲乙不在兩端并且和丙不相鄰的排法有幾種？這個問題就需要我們考慮到分類問題，所有的排法分為兩類，第一類丙在兩端中的一個位置，有A12種方法，然后排甲乙這個大胖子因為兩端不能排，又不能和丙相鄰所以安排這個大胖子的方法數就只有A13種方法，接下來排剩余的四個人由于這四人沒有任何要求所以共有A44，最后大胖子甲乙兩個人還可以交換位置有A22種方法，所以第一類方法數為A12A13A44A22=288種。第二類丙不在兩端，這時我們先排除了甲乙丙剩下的4個人方法數為A44，四個人形成三個空隙，然后把甲乙看成一個整體和丙相當于兩個人插入三個空隙中的兩個，方法數為A23，最后甲乙這個大胖子還可以換位置有A22種方法，所以第二類方法數為A44A23A22=288.根據分類計數原理這個問題的答案為288+288=576種。

4.多排問題

如果列隊中是前后兩排或三排那就是多排問題，這種問題我們一般轉化成單排問題進行研究，然后再在單排里分段解決條件限制問題。例5.8個人站成兩排，一排四個人，丙要站第一排且不站兩端，甲乙要站第二排且不相鄰，有多少種站法？我們可以把兩排的八個人拉成一排，前面一排四個人就是左邊四個位置看成第一段，后面一排四個人就是右邊四個位置看成第二段。第一步解決第一段的排法，先排丙有A12種方法再排剩下的三個人，有A35種方法，第二步解決第二段的排法，先排除掉甲乙的兩個人有A22，這兩個人形成三個空隙再把甲乙插入三個空隙中的兩個有A23種方法，最后根據分步計數原理這個問題的答案為A12A35A22A23=1440種。

以上是我對排列組合中列隊問題進行的簡單探究，在解題時必須分清屬于哪類條件限制問題，是多排還是單排問題，充分考慮以上關鍵詞，根據關鍵詞所屬的性質對癥下藥，選擇相應的解題方法，綜合運用分類與分步以及轉化與化歸等多種思維模式，

避免遺漏和重復。

參考文獻：

凌皇周.關于高中數學排列組合教學方法探究[J].家教世界，2013（12）.

編輯 薛直艷