突破領域樊籬 還原數學本真

韋建華

摘 要：教師是課堂教學中的主導者，將學生向什么方向引導，取決于教師自身對教學文本內容的理解和創新。許多數學知識問題本身蘊含著探求未知世界、追求科學真理的功能。數學基礎知識的領悟理解與解題運用都是數學學習價值的重要方面，隨著社會的發展與進步，厚此薄彼的現象一定會成為歷史。

關鍵詞：質疑；突破；引導

社會需要進步與發展，發展需要融合與創新。為此，我們的教育教學課程也在進行著一輪又一輪的改革，我們的課堂教學模式不斷推陳出新。知識的力量來源于知識的獲得和應用過程，根據現代建構主義學習理論，在這個過程中教師的主導作用在于“導”。教學模式改革能更新我們的引導方式，然而引導什么，將學生向什么方向引導，取決于我們教師自身對文本的理解和創新。筆者結合自身初中數學課堂教學的兩個案例談談自己對數學單元教學“突破”的看法與感悟。

一、突破章節領域的樊籬舉例——相似三角形章節教學中的典型圖形“A型”與“X型”教學

如圖1和圖2，點D在AB上，點E、F在AC上。當∠ADE=∠B或等價于這一條件時，△ADE∽△ABC，為平行性相似；當∠AFD=∠B或等價于這一條件時，△AFD∽△ABC，為不平行性相似。這就是相似三角形中的A型和X型。

A型和X型兩個幾何模型在初中幾何學習實踐中運用非常廣泛，這里不一一贅述。我想談一個我們平時教學中都會碰到的典型問題。如圖3，當DE∥BC時圖中有幾對相似三角形？如圖4，當∠AED=∠ABC時，圖中有幾對相似三角形？問題理解：（1）共性——這兩個問題都是“A型”中包含“X型”；（2）區別——其中一個是平行的相似，另一個是不平行的相似；（3）意義——以上問題看似兩個問題，實質是一類問題的有機組合，是我們相似形單元教學的核心問題之一。這兩個問題在我們單元教學時都會進行講解，而且還會多次重復，但收效并不明顯。有經驗的老師會將這兩個問題一起對比著進行講解，但似乎仍有令人費解之處。下面我將我的講解方法與大家探討。

第一層次，從相似三角形判定條件出發講清原因。設計問題導學1：當DE∥BC時，如圖3，可得幾對三角形相似？學生會回答：△ADE∽△ABC和△DOE∽△COB。但是，學生還會說△ADC與△AEB、△BOD與△COE分別相似。特別是△BOD與△COE，學生會由△DOE∽△COB得出，再由且∠DOE=∠EOC得出△BOD∽△COE。此時老師要介入引導，師生共同質疑是否為△BOD與△COE相似的兩邊成比例的對應條件，等等。從而得出正確結論：當DE∥BC時，只有△ADE∽△ABC和△DOE∽△COB兩對三角形相似。設計問題導學2：當∠AED=∠ACB時，如圖4，可得幾對三角形相似？學生開始會回答只有△AED∽△ABC，接著，有學生會想到△AEB∽△ADC（由△AED∽△ABC？圯，又因為∠A=∠A得出△AEB∽△ADC）。還有嗎？老師繼續引導。學生進一步思考，能夠得到△DOB∽△EOC，接著探究又能得出△DOE∽△BOC。還有嗎？學生意猶未盡，但是在有學生提出△BDE與△CED等時，學生是比較容易從角不一定對應相等來反駁的。在分析不存在更多相似三角形之后，總結：如圖4，當∠AED=∠ACB時，有△AED∽△ABC、△AEB∽△ADC、△ DOB∽△EOC、△DOE∽△BOC四對相似三角形。這樣雖然講清道理了，但學生就掌握了嗎？是否只有知識理解的厚度，缺乏幾何認知規律的一致性引導，而不利于學生的理解記憶呢？——不平行的反而相似三角形對數增加了，為什么？

第二層次，深度探究，從圖形特征闡述內在區別。一般來說特殊圖形往往具備更多的特殊性質。平行在學生心中印象很深，學生大多會認為這個條件更具備特殊性，理應有更多的相似三角形。上述問題似乎與這一經驗不符，不平行的反而相似三角形對數增加了。開始我也不解其因，特殊圖形應該具備更為特殊的性質，作為教師如果不能將這個問題想清楚，就不能引導學生在直覺感性上接受。在之前圓的教學中，新蘇科版教材增添了圓的內接四邊形對角互補性質定理——蘇科版數學2013版八年級第59頁。由此，可知圓的內接四邊形外角等于相鄰內角的對角。反過來，如果一個四邊形的外角等于內對角，這個四邊形就是圓的內接四邊形，這個結論學生是能夠理解的。圖4中的四邊形BCED不就是圓的內接四邊形嗎？于是我有感而發，提出了問題導學3：四邊形BCED有什么特殊之處？并進一步解釋，由∠AED=∠ACB能得到四點B、C、E、D在同一個圓上。既然如此，“四點共圓”顯然要比“平行”條件更特殊，四對相似三角形存在的內在合理性不言而喻。

以往在對待上述問題時只是就題講題，而且要多次重復強調，學生最終也只有厚度理解，而缺乏直覺感性認識，容易遺忘，教學效果欠佳。突破章節領域的樊籬，追本溯源多角度鏈接導學，能推動我們的教學整體聯動，使我們的數學課堂教學煥發活力，從而更大程度上提升教學質量。

二、突破數形領域的樊籬舉例——關于“一次函數圖象是一條直線”教學

一次函數是初中數學教學研究的三大特殊函數之一，而且是學生學習的第一個重要函數，在數學學習過程中具有重要的基礎作用。一次函數圖象的許多重要性質以及它的應用都是建立在圖象是直線的基礎之上，而且今后在學習曲線函數圖象時，還要通過直線函數來反證曲線的合理性。作為教學多年的教師，深知一次函數圖象的基礎地位，如果不將一次函數圖象是直線這一現象給學生講清楚，我實過不了自己這一關。于是，在做好課前知識鋪墊、準備后，基于數學研究的一般方法——操作演示、觀察猜想、驗證證明，有了下面的教學實踐。

事先學生先通過列表、描點，觀察猜想一次函數圖象是一條直線。如果不加深究，我們可以再讓學生畫幾個一次函數的圖象，列表、描點、連線，再用幾個滿足函數表達式的特殊值為坐標的點驗證在所畫直線上。但是我們知道列舉不能作為說明命題正確性的真正理由，與說明命題錯誤不同。于是我提出了問題，為什么一次函數的圖象是一條直線？生答：通過畫圖觀察可知，通過驗證可知。師導：特例不能代替全部呀，我們有沒有推理說明的方法呢？下面我運用由特殊（角平分線性質）到一般（相似三角形邊對應成比例）的方法進行了深度講解和剖析。

我在黑板上已畫好的平面直角坐標系中，用尺規畫出了一三象限的角平分線，然后問：這條直線上的點的坐標有何特征？生答：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以縱坐標等于橫坐標。師導：這條直線所對應的函數關系是什么？生答：y=x。師導：滿足函數y=x的點（x，y）是否在這條直線上？生答：在。師導：y=x是什么函數？生答：正比例函數，一次函數。師導：好，下面我將這條直線向下平移一個單位，經過點（0，-1）。師導：下面這條直線的函數表達式你能否得出？學生猜想：y=x-1。師導：能證明嗎？我們任意畫一條垂直于x軸的直線m，如圖所示交這兩條直線于點B、C，BC與OA相等嗎？為什么？生答：相等，因為四邊形OABC是平行四邊形。師導：因為點C在直線y=x上，令任意點C的坐標為（x，x），則點B的坐標為（x，x-1），所以點B的縱坐標y=x-1。由于可以是任意位置，如圖虛線位置有同樣的結論，所以這條直線表達式為y=x-1。反之，滿足函數y=x-1坐標（x，y）的點也在這條直線上。這也就證明了一個非正比例的一次函數y=x-1的圖象也是直線，它是由y=x的圖像平移得到的。同樣可證函數y=x+b的圖象是一條直線。

下面進一步引導到一般情形。師導：那么是否任意正比例函數圖象都是直線呢？師導：如圖點A的坐標為（1，2），畫直線OA，作AB⊥x軸，垂足為點B，則=2，你能說出直線OA上的任意點C的坐標特征嗎？生答：縱坐標與橫坐標的比值是2。師導：為什么？生答：如圖點C（x，y）為直線上任意一點，作CD⊥x軸，垂足為點D，則能得出△CDO∽△ABO，再由相似三角形邊對應成比例，可以得到=2，即=2。師導：很好，根據前面我們介紹的相似三角形的知識，實際上就說明了這條直線的函數表達式是y=2x。反之，滿足函數y=2x坐標（x，y）的點也在這條直線上。由此可知正比例函數y=2x的圖象是一條直線。以此類推，任意正比例函數y=kx的圖象都是一條直線。師導：那么函數y=2x-1呢？y=2x+b呢？生答：再運用平移的方法可以得到它們的函數圖象，比如：向下平移一個單位，令任意點G的坐標為（x，2x），則點F坐標為（x，2x-1），于是得到直線EF上點的橫縱坐標變量函數關系為y=2x-1，直線EF是一次函數的圖象。師導：很好，以此類推，可以說明函數y=2x+b的圖象是一條直線。用同樣的方法可以說明任意一次函數y=kx+b的圖象是一條直線。

通過以上探索，先說明正比例函數圖象是一條直線，然后通過平移得出一般的一次函數圖象也是一條直線，同時闡明了一次函數圖象之間平行的關系特征。在說明函數問題的過程中結合圖形的平移、平行四邊形、相似三角形、坐標等基礎知識，蘊含了由特殊到一般、類比等數學科學研究方法，突破了數與代數、圖形與幾何章節單一領域范疇。筆者上完，整個課堂感覺酣暢淋漓。師生共同感受到了數學探究、創新的快樂。“代數、幾何原本屬于數學不同的領域范疇，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。”（——數學家華羅庚語。）。

數學是人類文明和智慧的結晶，書本上的每一個知識點都是數學先輩們畢生的心血，經歷了上百年甚至數千年的磨礪。數學基礎知識的領悟理解與解題運用都是數學學習價值的重要方面，隨著社會的發展與進步，厚此薄彼的現象一定會成為歷史。

編輯 王團蘭