依托基本圖形教學，發展創新思維

鄭輝

摘 要：幾何證明題的圖形紛繁復雜、千變萬化，這使學生在解題過程中把握不住圖形的本質，找不到解題的突破口。但任何復雜的幾何圖形都是由相關的基本圖形所構建而成，對復雜圖形進行合理分解，從中分離出基本圖形，可以為解題找到突破口。依托基本圖形的教學，雖可有效排除無關信息干擾，快速凸顯解題突破口，提高思維的敏捷性。教師若尺度把握不當，也可能造成學生的一種“模塊化”思維定勢，阻礙學生思維的發展。而初中數學教學的目的就是要培養學生的多種思維能力，這就要求教師在教學時把握好這個教學的尺度，時常注意打破原有的教學“模式化”，克服思維定式，拓寬思維領域，引導學生發展創新思維。

關鍵詞：基本圖形教學；創新思維；思維定式

時代的發展，需要創造型人才，而創造型人才，必須具有創新思維。因此，在數學基本圖形教學過程中，注重學生的創新思維的培養就顯得十分重要了。如何培養學生的創造性思維，最大限度地挖掘每個學生的潛能，充分發展他們的思維能力，是數學教學的主要任務。本文試就筆者在中學數學的基本圖形教學法教學中如何培養學生的創新思維談一點膚淺的認識：

一、形象思維與抽象思維相結合，激發創新意識

形象思維是用直觀形象和表象解決問題的思維。其特點是具體形象性，屬于感性認識階段。抽象思維是人們在認識活動中運用概念、判斷、推理等思維形式，對客觀現實進行間接的、概括的反映的過程，屬于理性認識階段。抽象思維是創造性思維的重要組成部分，對于那些抽象的定理、性質，直接給出時的效果總不太理想。在教學中，只有引導學生的思維從形象逐步過渡、上升到抽象，才能在獲取知識的同時發展能力。有了創新意識，才能有創新思維，繼而進行創造活動。現代數學觀認為，數學是人類的一種活動，是一種創造性的活動。數學基本圖形的學習過程就是數學活動過程。

《義務教育數學課程標準》在幾何方面的學習要求學生“……能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系，……利用直觀來進行思考”。初中生開始學習空間與圖形的相關知識時，確實存在很多困難，概念集中又抽象，難理解；由“數”轉入“形”，難適應；推理論證邏輯性強，難下手。因此，在幾何基本圖形教學中應對數學基本圖形進行抽象、歸類，逐步培養學生對幾何圖形的識別、組合與分解的能力。此時必須突出幾何基本圖形教學的直觀、形象性，在整個教學過程中利用基本圖形努力創設問題情境，激發學生學習數學的興趣，引導學生自主學習。教師在教學中可從一些最基本、最簡單的幾何基本圖形入手，讓學生在頭腦中先形成各種基礎知識的表象圖形，在實際運用中組合成較為復雜的圖形或分解那些較為復雜的幾何圖形，去解決生活中的實際問題，從而培養學生組合與創新，及從復雜問題中去分析、解決問題的能力。 例如：

例1：如圖（1），E為平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE，交邊CD于G，交對角線BD于F，求證：FA2=FG×FE

教學中引導學生由乘積式FA2=FG×FE入手，只要證比例式=，而比例式左右兩邊的比很直觀，分別是平行線型相似三角形“Ⅹ”字形基本圖形圖（2）與圖（3）的組成部分，而圖（2）與圖（3）的公共部分BFD，就是該道題的突破口，只要把中間比建立在BFD上，不難找出中間比“”，從而問題得證。

這樣通過直觀因素來解決抽象問題，進行形象思維與抽象思維結合的訓練，不但激發了學生的學習興趣，而且提高了觀察力和概括能力，對激發學生創新意識，無疑有巨大的促進作用。

二、正向思維與逆向思維相結合，培養創新思維

逆向思維，是對常見的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。敢于“反其道而思之”，讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面深入地進行探索，樹立新思想，創立新形象。對于概念、定理、性質，往往習慣于正面看、正面想、正面用，極易形成思維定勢。在解決新問題面前，這種思維定勢是一種負遷移，作用是消極的。學生往往感到束手無策，寸步難行，所以，在重視正向思維的同時，養成經常逆向思維的習慣，“反其道而行之”，破除常規的正向思維帶來的定勢束縛。

如何進行逆向思維的訓練呢？在具體的基本圖形教學中要注意兩點：

（一）重視逆向教學

邏輯思維能力是初中生在幾何證明中進一步接觸嚴密的邏輯推理方法，而其中的逆向思維，從問題的反面揭示本質，彌補了正向思維的不足，使學生突破傳統的思維定勢，是培養學生創造性思維的關鍵。因此，教師在對有關證明題進行分析時，應逐步向學生灌輸幾何證明中常用而且最有效的方法——分析法，并引導學生進行“執果索因”，從而增強直觀感，激發學生的興奮感與成功感。

例如：

例2：如圖（4），已知ABCD是圓內接四邊形，EB是⊙O的直徑，且EB⊥AD，AD與BC的延長線交于F，求證

顯然該道題，容易受制垂徑定理的基本圖形帶來的正向思維的定勢束縛，但要引導學生打破定勢思維的框框，利用分析法進行逆向思維，并引導學生進行執果索因，要證=，只要證△ABC∽△FDC，故連接輔助線AC，從圖中易知∠ABC=∠FDC，則只要證，∠ACB=∠FCD，又∠FCD=∠BAD，故只要證∠ACB=∠BAD，再只要證這兩個圓周角所對的劣弧AB=劣弧BD ，而再由已知中具有的垂徑定理的基本圖形不難看出，這兩段劣弧易證相等了。

（二）強調一些基本方法的逆用

逆向思維也叫求異思維。在創造性思維活動中，求異思維占主導地位，也有求同的成分，而且兩者是密不可分的。解決問題時從局部考慮不易，是否能整體處理；一般情況下不好辦，考慮特殊情況；前進有困難，退一步如何；正面入手分類太多，對立面如何；“執果索因”與“由因導果”兩方面尋找解題途徑；直接證明不行，則考慮用間接證法等。

在教學中，只有引導學生從“同中求異”與“異中求同”的反復結合，才能培養思維的流暢性、變通性、新奇性。比如，在證明“三角形內角和定理”時，因三個內角位置分散，眾所周知，必須添加適當的輔助線使角集中起來，這是思維的求同；至于如何添加適當的輔助線，這便是思維的求異。應引導學生從基本圖形“三線八角”出發進行探索，尋找能否構造“三線八角”中的“F”“Z”“U”，由學生各自表達各種不同的見解。學生有的認為：過一頂點作直線平行對邊；有的認為：過一頂點作一射線平行對邊；也有的認為：過一頂點作射線平行對邊，但還得再延長一邊；還有同學想到：在一邊上取一點后，分別做另兩邊的平行線；甚至有的學生會想到：取三角形內任意一點做三邊的平行線。多種方法能夠解決問題，學生的求異思維十分活躍，然后通過比較，異中選優。

三、收斂思維與發散思維相結合，開發創新精神

在創造性思維過程中，發散思維起著主導作用，是創造性思維的核心。培養學生的發散思維，關鍵是要使學生能夠打破思維定勢，改變單一的思維方式，運用聯想、想象、猜想、推想等盡量地拓展思路，從問題的各個角度、各個方面、各個層次進行敏捷的思考。思維的發散才能多角度、多層次地從不同方面去思考，才能深刻地理解、鞏固并靈活運用知識，培養學生的創造性思維能力。基本圖形教學中，例題的講解應該注意一題多解、一題多變，即條件發散、過程發散、結論發散，強調思維的發散，增強思維的靈活性。在例題教學中，可叫學生先做例題，引導學生廣開思路，探求多種解法，然后教師再給學生分析、比較各種解法的優劣，找出最佳的、新穎的或巧妙的解法，開發學生的創造性思維。

（一）注重證題思路中的“一題多解”，促進收斂思維

收斂思維是創新思維的一種形式，與發散思維不同，發散思維是為了解決某個問題，從這一問題出發，想的辦法、途徑越多越好，總是追求還有沒有更多的辦法。而收斂思維也是為了解決某一問題，在眾多的現象、線索、信息中，向著問題一個方向思考，根據已有的經驗、知識或發散思維中針對問題的最好辦法去得出最好的結論和最好的解決辦法。收斂思維所追求的目標是迅速地進行篩選，采用科學的方法將問題簡化，作出正確的判斷，選取較理想、較合適的方案，使問題得到正確的解決。

“一題多解”是幾何教學中眾多學者談論研究的一種有助于提高學生邏輯思維能力的方法，俗話說：“條條大路通羅馬”，可見解決問題并不只是一種方法。在初中幾何教學法中，可以過典型例題引導學生從不同角度、不同層次、多方位地思考。探索各種不同的解法，例如，在解題時，不要滿足于把題目解答出來便完事大吉，而應向更深層次探求它們的內在規律，可以引導學生變化題目的條件、結論等。比如，證明“勾股定理”。 有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分巧妙，有的因為證明者身份的特殊而非常著名，其中以面積證法較為巧妙簡捷。該題證明后，可以變換角度，廣泛聯想，訓練發散思維。可以看出，對數學問題的回味與引申，使學生從不同角度處理問題，增加學生總結、歸納、概括、綜合問題的意識和能力，培養了思維的靈活性、變通性和創造性。

總之，通過“一題多解”的長期練習，并且從中比較哪種方法最簡捷，是最佳方案等，這樣學生對基本圖形的理解就能根深蒂固。因為每找到一種新的解法，說明他的思維觸角又伸了一個新的領域。這樣就開拓了學生的分析思路，進一步培養了學生的邏輯思維能力。

（二）注重證題形式的變化即“一圖多題”，促進發散性思維

所謂一圖多題，就是同一種幾何圖形，由于已知、求證的差異可構成多種不同的幾何問題，在教學中多進行這一方面的訓練，有助于開闊學生的視野，增強學生的應變能力，達到從一個幾何圖形訓練對基本圖形的認知，培養學生多向思維和發散性思維的目的。同時，也可以使學生避免枯燥煩人的“題海戰術”，激發學生強烈的新鮮感和求知欲。

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（圖5）

根據圖（5）可引出以下兩例：

例3：如圖（5），從⊙O外一點A作⊙O的切線AB、AC，切點分別為B、C，又BD為⊙O的直徑，連結CD、AO，求證：CD∥AO。

例4：如圖（5），從⊙O外一點A作⊙O的切線AB，切點為B，BD為⊙O的直徑，過D作CD交⊙O與C，且使得CD∥AO，連結AC、AO。求證：AC是⊙O的切線。

通過圖（5）兩例的拓廣，可使學生對“切線長”基本圖形與切線的性質和判定有了一個新的認識，使學生能將所學的知識充分聯系在一起，并加以聯想、歸納，從而有助于學生發散性思維的培養。

（三）注重圖形的適當變換即“一圖多變”，培養學生的創造性思維能力

創造性思維也是一種求異思維，是指不拘泥，不局限于常規，善于發現與眾不同解決問題的途徑，從而求得問題解答的一種思維方式。幾何習題圖形多變，證題思路千變萬化，學生有手足無措之感，會被表面現象所迷惑，而不能抓住事物的內在規律和本質。教師在幾何教學中，要讓學生結合基本圖形來掌握所學，加深學生對基本圖形的認知，幫助學生建立圖形與性質、定理的密切聯系。在引導學生對復雜圖形進行拆積木式的分解過程中，能訓練學生的識圖能力，有利于能力的遷移，有利于在復雜圖形中快速找到解題的思路。就基本圖形的應用這一部分，筆者認為基本圖形的演變雖然繁多，但萬變不離其宗，教師可通過圖形的適當變換，產生新的題型，例如：

例5：已知，如圖（3），CD是⊙O的直徑，AB是弦，AE⊥AB，垂足為A，BF⊥AB，垂足為B，求證：CE=DF。

變式一：把CD和AB的相對位置加以變化，即圖形變化，條件和結論均不變，便得新題，變化后如圖（4）：AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F，求證：CE=DF。

變式二：如圖（5），旋轉AB，令AB與CD相交，條件、結論都不變，又得新題。

變式三：把直線EF和圓的位置關系由一般的相交變為相切，即圖形特殊化處理，原題可以引申為：如圖（6），直線MN和⊙O切于點C，AB是⊙O的直徑，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，（1）求證：AC平分∠BAE；（2）求證：AB=AE+BF；（3）求證：EF2=4EA×BF。

如此這般的“一圖多變”，使學生在學習的過程中，逐步理解涉及基本圖形的一些常規證法。同時，教師在基本圖形教學中要敏銳地發現學生的智慧火花，引導學生能通過圖形的變換和題目的不同敘述形式，輻射式地展開思路，從而提高學生的邏輯思維能力及創造性思維能力。

總而言之，數學活動的核心是數學思維活動，而初中數學教學的目的就是要培養學生的多種思維能力。故在基本圖形教學法中教師應著重培養學生的創造性思維，要充分利用基本圖形的分解和組合，引導學生積極地進行思維活動。在穩固舊知與尋找新知的融合過程中，充分調動學生的學習積極性，發揮學生的主體作用，并有意識地培養學生的探索精神和創新精神，形成獲取新知識、動用新知識解決問題的能力，并通過基本圖形的演繹來訓練學生思維的收斂與發散，正向遷移與逆向探究，促進學生思維的靈活性與創造性的發展，最大限度地挖掘每個學生的潛能，充分發展他們的思維能力，以達到發展學生創新思維的目的。

參考文獻：

鮑健強，黃舒涵，蔣惠琴.論發散性思維和收斂性思維的辯證統一[J].浙江工業大學學報：社會科學版，2010（02）.

編輯 謝尾合