橢圓性質及其應用的探究和推廣

張敏山西省大同市同煤一中數學組

橢圓性質及其應用的探究和推廣

張敏
山西省大同市同煤一中數學組

在高考中，圓錐曲線這一章節一直是一個熱點，而橢圓又是圓錐曲線學習中的一個基礎。所以，教師在教學的過程中，應該能夠根據學生的情況確定自己的教學方法，讓學生能夠牢固的掌握橢圓的性質，并且進行探究和推廣。

橢圓性質；探究；推廣

圓錐曲線在高考中是較為重要的一格章節，學生和教師都應該重視這部分的學習。目前在高中數學課堂的教學中，鼓勵教師可以通過各種創新方式讓學生主動學習鉆研數學題目，感受到數學本身真正的魅力。在橢圓的學習過程中也是如此，教師不妨嘗試利用簡單的數學題目，讓學生自己推算出橢圓的性質，總結數學知識。

一、橢圓的定義及性質

1.橢圓的定義

在我們教學內容中，關于橢圓是這樣進行定義的：在某一平面內到兩個定點F1,F2的和為定值的點的集合。其中，F1與F2被稱為焦點，這兩個點之間的距離被稱為焦距，而橢圓上的點到焦點的距離之和2a就是定長。

2.橢圓的性質

對于焦點在X軸，圓點在坐標軸中心的橢圓X2/a2+Y2/b2=1（a> b>0）有以下幾個性質：（1）|X|≤a，|Y|≤b；（2）橢圓具有對稱性，對稱軸為X軸、Y軸，對稱中心為原點o（0，0）；（3）橢圓的四個頂點為A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），長軸的長度為2a，短軸的長度為2b；（4）設點p為橢圓上的一點，PF之間最大的距離為a+c，PF之間最小距離為a-c；（5）橢圓的離心率為e=c/a，且離心率范圍在0 至1之間。

二、典型例題分析

橢圓的相關性質并不難理解，重要的是將性質能應用在解題過程中。在教學過程中，教師選擇的題目應該由易到難，先讓學生掌握好橢圓基本性質后，再去進行一些拓展和延伸。簡單的關于橢圓性質例題主要可以分為兩類，一是利用橢圓的斜率、長短軸、頂點坐標等等已知條件，推算出關于橢圓的標準方程，二是利用橢圓的標準方程推算長短軸、斜率、頂點等等。

下面是兩道關于橢圓的性質的典型例題。

例一：已知橢圓的中心在坐標原點上，長軸在X軸，離心率e= √3/2，已知一點p（0，3/2）到橢圓上的點的最遠距離為√7，求該橢圓的方程，并求點p到橢圓上距離為√7的點的坐標。

分析：這道例題除了需要了解橢圓的性質以外，還要求學生能夠了解距離公式，最大值等知識點。解決這道例題共有兩種方法，一是可以利用橢圓的標準方程，二是可以選擇橢圓的參數方程。需要學生擁有較強的綜合分析能力和較高的邏輯推理能力。關鍵時教師可以進行一定的引導。另外，在求d的的最大值時，應該要提醒學生要注意討論b的取值范圍。

例二：橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）與x軸正向相交與點F，若這個橢圓上總有一點P，使OP⊥FP，求該橢圓離心率的取值范圍。

分析：在這道例題中，因為點O與點F為固定點，而P點為動點，所以我們可以考慮將P點坐標作為參數，將OP⊥FP轉變成關于點P坐標的一個等量關系，在將坐標的范圍建立關于a、b、c的不等式，從而得到關于離心率的取值范圍。在這道題中，為了減少參數，我們應該考慮利用橢圓的參數方程。

三、橢圓性質推廣實例分析

在學習的過程中，雖然主體是學生自己，但是作為數學教師，我們應該積極的對學生進行引導，完善他們的解題思路。

有這樣一道高考題目：已知橢圓x24+y23=1，并且橢圓經過點（1,32），點E與點F為橢圓上的兩個動點。那么，如果直線AE斜率與AF的斜率為相反數，求直線EF斜率的值。

這道題目想要進行解答就必須需要學生們自己進行思考。而教師在為學生講解這道題目是應該明白以下幾個目的：

1.通過例題鼓勵學生多嘗試使用不同的方式進行解答，鞏固基礎知識，擴寬思維方式。

2.點A不斷移動時，EP的斜率會不會發生改變？或是是否在那個點上斜率才發生改變。

3.結果所得的理論是不是能夠應用在雙曲線或是拋物線上呢？

這道題解題不是最終的目的，更重要的是讓學生在學習的過程中鞏固橢圓性質并進行應用和推廣。

如果學生在課堂前的準備充分，那么可以發現有很多的解題方法：點差法、參數法或是利用方程組。題目看似會在解題中存在困難，但是如果能夠對題目認真的進行研讀，很容易就會有自己的思路。

教師在解題的過程中也應該主動引導學生進行思考，直線EF的斜率值與點A有什么關系？這個為題開始只能依靠學生的猜測，有的學生可能會提出借用供給進行測量，而教師應該對學生進行鼓勵，讓學生思考如何進行證明。

學生在推算的過程中，對相關問題的探究、證明，讓學生真正的能夠夠利用數學思維，將幾何與代數相結合，并為自己的解題過程積累了經驗。對于橢圓的相關性質掌握的更為牢固，解題的速度和正確率也會得到提升。

四、橢圓性質教學反思

在課堂中，教師在教學的過程中應該主動引導學生進行思考，而不是將知識點死板的灌輸給學生，要在課上給留給學生充分思考的時間。這樣的方法看似很耽誤課堂時間，但并不是如此，課上學生思考的過程也是學習的過程，對于橢圓性質由學生自己進行思考可能會掌握的更加牢固。而教師在教學的過程中應該將過去的解答題目變成思路引導，并且鼓勵讓學生利用多種方法進行解題。這樣的方法學生的思考能力很容易被提升，從而學生的學習能力和學習效率也會得到提升。

橢圓相對于圓這一章節來說難度有了一定的提高，但是，橢圓的部分內容又是為以后雙曲線等相關知識點學習的基礎。所以，教師在教學的過程中，一定要利用各種適合自己學生情況的辦法讓學生掌握相關的知識點，并且能夠根據基礎知識做出一定拓展應用。

[1]徐德同.離心率相同的橢圓性質初探--對《數學通報》2092號問題的探究[J].數學通報.2014(05)

[2]蔡欣.從類比推理的視角認識橢圓的幾個性質[J].中學數學月刊.2014(02)

[3]玉邴圖.讓課堂教學充滿探索與交流--圓錐曲線“準點”的教學實錄[J].中學數學.2009(07)