線性系統的穩定性分析

毛曉琦哈爾濱工程大學

線性系統的穩定性分析

毛曉琦
哈爾濱工程大學

優秀的控制系統主要體現在系統的穩定性，它決定了系統能夠安全正常運行，對于如何保證控制系統的穩定性，是控制技術人員的主要任務。本文將會主要講述基于經典控制理論的穩定性判據與基于現代控制理論的穩定性判據。

線性系統；穩定性；分析

引言

常規的控制系統有兩種，一種是線性系統，另一種則是非線性系統。線性控制系統的穩定性判斷的依據就在于平衡狀態下的系統經過擾動后是否能夠重新回到平衡狀態。對于線性系統的穩定性影響因素在于系統的參數，它并不會受到外力的影響。而非線性系統卻存在著因為存在著多個平衡狀態，這些狀態之間有的是穩定，而有的卻是不穩定的，所以在條件允許的情況下，通常會將非線性系統近似為線性系統來分析。

1　線性控制系統的穩定性判據簡述

現今的線性控制系統的穩定性判據方式主要類型分為兩種：第一個是基于經典控制理論的穩定性判據，第二個則是基于現代控制理論的穩定性判據。在經典理論判據中主要對系統的閉環傳遞函數進行分析來判斷系統的穩定性，這類判據主要有勞斯穩定判據、奈奎斯特判據以及對數穩定判據等，這類型判據一般是應用于線性系統和近似線性系統。而現代理論判據則是主要針對空間狀態的描述，李雅普諾夫穩定判據就是常用的一種現代控制理論，并且被廣泛的應用。

2　基于經典控制理論的穩定性判斷依據

在線性控制系統中，對其穩定性判斷依據的主要從閉環系統特征方程所有根存在負實區，或判斷閉環傳遞函數的極點位置進行分析。而基于經典控制理論的穩定性判斷依據便是通過證明閉環系統特征方程所有根的區域，以此作為依據可以知道系統的穩定性。

2.1勞斯穩定判斷依據

勞斯判斷系統穩定性的依據是通過分析線性控制系統閉環傳遞函數的特征方程的系數來判斷。使用系統建立一個完整的模型，再根據模型，利用方程式計算系統的閉環傳遞函數，就能夠判斷線性控制系統的穩定性。同時勞斯穩定判據還可以得出閉環系統特征根的具體分布圖。但是勞斯穩定判據有著一定的局限性，主要還要看系統的穩定情況，若是系統本身就是穩定的，那么勞斯判據就無法判斷系統的動態性能。而系統如果不穩定，勞斯判據也就不一定能作為判斷系統穩定性的依據。

2.2奈奎斯特穩定判據

奈奎斯特穩定判據是一種圖解法，需要用到奈奎斯特曲線來進行。這種判據是以幅角原理為理論基礎，通過這種理論，只要在線性控制系統的選擇一個合適的閉合區域，就可以輕松計算出零點和極點的數量差。奈奎斯特判據的作用不僅能夠判斷系統的穩定性，還能改變系統的穩定性，只要知道了控制系統的參數，就可以用奈奎斯特曲線來改變系統穩定性.。不僅如此，奈奎斯特判據還提供穩定性測度，能清楚呈現系統的穩定程度以及對擾動的魯棒性。

2.3對數穩定判據

對數穩定判據需要結合奈奎斯特穩定判據使用，可以將奈奎斯特圖應用到伯德圖上，然后通過開環對數頻率曲線能夠方便校正和設計系統，同時由于開環對數頻率曲線的繪制較為簡單，因此，對數穩定判據的應用可以應用到很多類型的系統。

3　基于現代控制理論的穩定性判斷依據

李亞普諾夫穩定判據被分為李雅普諾夫第一法和李雅普諾夫第二發，這種判據主要是通過對系統空間狀態的一個描述來判斷系統的穩定性。其中李雅普諾夫第一法的特點在于它判斷系統穩定性的方法是通過狀態方程的解的性質。而李亞普若夫第二法的特點便是運用李雅普諾夫函數的標量函數直接來判斷線性控制系統的穩定性，期間并不需要求系統的特征值以及微分方程式。

在此，特意講解李雅普諾夫第二法對線性控制系統的穩定性判斷依據。對于李雅普諾夫第二法，主要是利用能量變化的理論來判斷系統的穩定性。在系統運行過程中，系統內儲存的能量會隨著時間的流逝而漸漸減少，那么就表明了系統開始穩定了，相反，系統在運行過程中，能量不但沒有減少反而在不斷從外界吸收能量，則表示系統無法穩定下來。

根據能量定理，可以了解能量的數值是一直大于0，所以我們可以直接將能量函數定義為正函數。在李雅普諾夫第二法中，判斷依據是通過判斷能量衰減特性的正負來判斷線性控制系統的穩定性。其中運用了一個李雅普諾夫函數，然而李雅普諾夫函數不是輕易就可以計算出來的，因為這類函數有多個。通過線性定常系統，并且采用正定二次型函數，再選定一個大于0的單位矩陣，求解李雅普諾夫方程就可以找到線性控制系統的李雅普諾夫函數。其中計算系統特征根的極點并將其定號性，然后根據線性定常系統，當極點為正定時，表示系統漸進穩定，為負定時，表示系統不穩定，若不定時，就可以判斷系統為非漸進穩定。

在經典控制理論中，奈奎斯特穩定判據是常用判斷線性控制系統的穩定性，其主要作為線性以及近似線性系統的穩定性判據。而在現代控制理論中，李雅普諾夫穩定判據不僅僅可以對線性控制系統的穩定性進行判斷，其還可以應用到其他較為復雜的動力學系統的穩定性研究，如時變系統、非線性系統、離散時間系統以及離散時間動態系統等。但是李雅普諾夫穩定判據也有著一個缺陷，那就是沒有一個固定構造李雅普諾夫函數的方法，一切只能靠豐富的經驗和技巧。

4　結語

穩定性判據主要有基于經典控制理論的穩定性判據和基于現代控制理論的穩定性判據。兩類型判據有著明顯的區別，經典控制理論類型判據通常只能用于線性控制系統或近似線性系統，其主要是通過計算系統的閉環和開環特性來判斷系統的穩定性?，F代控制理論類型判據主要針對空間狀態方程計算判斷系統的穩定性，這種類型的判據，如李雅普諾夫穩定判據應用范圍廣泛，幾種判據雖然已經沿用了很多年，但是卻依然存在著一些缺點，面對這些缺陷，就只能依賴豐富的經驗和技巧。

[1]嵇小輔,朱湘臨.狀態飽和奇異離散線性系統的穩定性分析與控制律綜合[J].信息與控制,2013,04:437-442.

[2]孫鳳琪.線性時滯系統的穩定性分析[J].吉林大學學報(理學版),2014,04:709-714.

[3]劉蕾,羅賓,韓存武,孫德輝.線性時滯系統的穩定性分析與控制[J].計算機仿真,2015,08:327-331.

[4]張為元,李俊民,夏志樂.時變線性分布參數系統的魯棒指數穩定性分析[J].應用數學學報,2012,05:879-891.

[5]李俊.一類線性時變系統線性化穩定性分析方法的討論[J].電子設計工程,2013,21:61-62+66.