幾個重要不等式的應用

劉書海

【摘要】不等式是高中數學學習中的難點，它運用靈活，以技巧而不是運算能力取勝，筆者從歷屆高中數學競賽中精選了部分例題，用自己獨特的方法從不同的角度詮釋了它們。

【關鍵詞】不等式 ?最大值 ?最小值

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2015）11-0107-03

基本公式：一般不等式： （時取等號）.

推廣式：

（時取等號）.

再拓展，有：

（時取等號）

不等式的證明方法主要有比較法、綜合法、分析法 、縮放法、反證法、數學歸納法，每一種方法在高中數學中都有其獨特的作用和地位，有時甚至作為壓軸題而直接決定成績的優劣，在數學競賽中常常都可以見到它的身影.下面就綜合法和分析法聊舉幾例，并結合其中需要注意的問題尤其是等號能否取到展開介紹.

例1. 若 ，求的最小值（2010年希望杯

數學邀請賽試題（高一）第二試（第Ⅰ類）第18題）

分析：如果直接采用的話，一方面不符合的

形式，另外等號無法取到，考慮到，變形得，將4

變為，9變為，變形后利用可得到結果.

解：

=

當 ?，即，即，即時取等號.

∴的最小值為.

注意：此題千萬不可將 往式中代，否則將進入一個復雜且無效的計算中.

例2. 若 ，并且，求的最大值（2009年希望杯數學邀請賽試題（高二）第二試第12題）

分析：觀察到 ，考慮用公式.

解：

∴的最大值為64，時取等號.

拓展：將題目改為求 的最大值.

解：

∴時，取最大值

推廣：

解：

.

例3.已知 （2010年

希望杯數學邀請賽試題（高二）第二試第16題）

分析：觀察到2在代數式中的位置造成次數不齊，可將 代入式中與 都為2次，化簡后再利用重要不等式可獲得結果.

解：

原式

例4.已知 （2008年第四屆“希望杯”全國數學大賽試題（高二）初賽第8題）

分析：求 的取值范圍，只要求出的最大值和最小值即可.利用立方和公式和重要不等式得到關于（）的不等式，解之即可.

解：

例5.

求證： （2008年第

四屆“希望杯”全國數學大賽試題（高二）決賽第15題）

分析：直接證明不等式有些困難，考慮利用不等式

通過中間量將兩邊聯系起來.

解：

聯系以上，可得：

時取等號.

例6.已知三角形的邊長分別為

求證： （2009年第五屆“希望杯”

全國數學大賽試題（高二）決賽第13題）

分析：對于不等式的左半部分，考慮到

，可運用重要不

等式的變形，，至于右半部

分可有等得到.

證明：對不等式的左半部分：

對不等式的右半部分：

例7.半徑為1的圓內接三角形的面積是 ，三角形的三邊是

求證： （2010年第六屆“希望杯”全

國數學大賽試題（高二）初賽第13題）

分析：由已知條件可知，然后可令可去根號，最后巧妙變形并使用重要不等式即可獲得結果.

證明：

①+②+③得，

即 時取等號）.

例8.設正實數

求證： （2010年第六屆中國北方數

學奧林匹克邀請賽第二天第五題）

分析：由重要不等式易知：

證明：

上式顯然成立.

不等式證明的方法多種多樣，不同的題目有不同的解法，就是同一道題目也有不同的解法，不能一概而論。切忌照貓畫虎，應當靈活運用，具體情況具體分析，以上例子也屬個人見解，希望大家能有更好的方法，還請不吝賜教。

參考文獻：

[1]南秀全，高中數學奧林匹克競賽2010詳解版（全國聯賽卷），武漢：湖北教育出版社，2009.4.

[2]南秀全，高中數學奧林匹克競賽2012詳解版（全國聯賽卷），武漢：湖北教育出版社，2011.7.

[3]南秀全，高中數學奧林匹克競賽2014詳解版（全國聯賽卷），武漢：湖北教育出版社，2013.2.