不等式解題中易錯題剖析

周克毅

【關鍵詞】 數學教學;不等式;易錯;問題

【中圖分類號】 G633.6【文獻標識碼】 A

【文章編號】 1004—0463（2015）24—0121—01

不等式是中學數學的重要內容之一，它滲透到中學數學的很多章節，是解決其他數學問題的有利工具，在生活、生產和科研中有著廣泛應用。但在解決不等式問題時，學生往往“望文生義”，從表面出發，導致解題出現錯誤。筆者從學生的作業中發現了一些較為普遍的現象，現將這些題目及相關解答摘錄如下，供大家參考和討論.

錯因分析：

上述解集是對的，粗看起來，其解題過程似乎也是對的.其實不然，由邏輯知識可知，兩數（或式）的積小于或等于零，并不一定要求這兩數（式）同時異號或為零，而當其中一個因式為零，另一個因式不論是何值，原不等式均成立.這里不妨舉一個反例加以說明.若按上述求解過程，解不等式：（x2-4）（x-6）2≤0.仿前解：原不等式？x2-4≤0（x-6）2≥0？圳-2≤x≤2.這個解是錯誤的.事實上原不等式（x2-4）（x-6）2<0或（x2-4）（x-6）2=0？≠6-2

故原不等式的解集為{x|-2≤x≤2或x=6}.

糾錯：

對于含“≥”或“≤”的不等式，一種方法是將其化歸為一個嚴格不等式與一個方程求解，最后求它們的并集得原不等式的解集.當然對于例1，若直接用一元二次不等式解更保險、更嚴密、更簡潔（解題過程略）.

例2 ?解不等式|x|>-2.

學生解答：原不等式

？圳x>-2或x<2

？圳x∈R

故原不等式的解集為R.

錯因分析：

上題看似簡單，有點腦筋急轉彎的味道.上述學生解答是對的，但求解過程是錯誤的，屬機械照搬|x|>a的解集模式所致，這種“機械照搬”一旦形成思維定勢和習慣，對以后解題大大不利.

糾錯：

緊扣絕對值的意義，該不等式可化歸為不等式組求解，

|x|>-2？圳x≥0x≥-2或x≤0-≥x-2？圯x≥0或x<0？圯x∈R

由此可知，|x|>a？圯x>a，或x<a中條件a≥0是必須的，而當a<0時，|x|>a的解集一目了然.

例 3 已知a>0，b>0且a+b>2，

學生解答：（用反證法）

錯因分析：

從證明的形式看是用反證法，但實際上只證明了當a=2，b=2時結論成立，而并沒有證明對于一切滿足a>0，b>0且a+b>2的a、b使得結論成立.從條件的充要性角度分析，已知條件命題中“若a>0，b>0且a+b>2”是中至少有一個小于2的充分條件，根據命題等價性，故用反證法證明時可有如下證明模式：

綜上所述，學生在不等式解題過程中，從表面出發的現象不少，這些都是沒有理解不等式的實質，沒有嚴格遵循概念、定義和邏輯推理.因此，教師在平時教學中，應重視這些問題的分析和總結，讓學生明辨是非，這對于消除“成見”、打消思維定勢和不良習慣大有裨益.

編輯：謝穎麗