聯想思維在數學解題中的妙用

齊琳麗

【關鍵詞】 數學教學;聯想思維; 解題

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2015）24—0120—01

數學解題的過程其實質就是聯想與題目條件、結論相關的內容并建立關系的過程，難點就是聯想到與數學問題有關的定義、公式、定理、法則、性質、解題思想、解題方法、解題技巧、解題規律等.因此，數學解題教學的任務之一，就是幫助學生如何聯想相關內容、如何把聯想到的內容與題目結論建立聯系，從而達到培養學生聯想思維的能力.下面，筆者結合自己的教學體會，舉例說明聯想思維在數學解題中的妙用.

一、相似聯想

相似聯想，就是根據問題條件或結論的結構特征及表形而聯想到應用相似知識點解決問題.

例1 若a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證-1≤ac+bd≤1.

分析：由于已知條件a2+b2=1，c2+d2=1，與三角函數恒等式sin=1結構特征相似，因此聯想到情形.設從而使本題得到解決.

在解題中，對于形如a2+b2=u（u≥0）的情形，可以聯想sin2？琢+cos2？琢=1，對二次函數的問題可以聯想到二次方程或二次不等式等.

二、接近聯想

接近聯想，就是問題的意義或形式相近的一種聯想方法，即由問題或問題中的某一部分聯想到用與其相同或相近的知識去解決問題的思維方式.

例2 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，證明：2y=x+z.

分析：解此題一般是通過因式分解來證，但是如果注意觀察已知條件的特點，會發現它與一元二次方程根的判別式相似，于是聯想到用一元二次方程的知識來解.

當x-y≠0時，我們把等式（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0看作是關于t的一元二次方程（x-y）t2-（z-x）t+（y-z）=0有兩個等根的條件.觀察出這個方程的兩個等根為t1=t2=-1.

∴2y=x+z

若x-y=0，易知x=y=z，顯然也有2y=x+z.

在解題中，圓錐曲線上的點到焦點的距離問題就要聯想到圓錐曲線第二定義，關于曲線相交的問題就要聯想到解方程組的問題.

三、對立聯想

對立聯想，就是當問題不易直接求解時，聯想到其反面情形，就其反面進行分析探索，使問題得以解決.

例3 若正實數a，b滿足ab=ba，且a<1，求證：a=b.

分析本題如果由條件找結論或由結論找條件都難以下手，所以聯想結論的反面，假如a≠b，出現什么情形？

若a≠b，則a>b或a

（1）當a>b時，由1>a>b>0，利用冪函數y=xb的單調性，ab>bb利用指數函數y=bx的單調性bb>ba，故ab>ba，與已知ab=ba矛盾;

（2）當a>b時，b>a>0，1>a，利用冪函數y=xa的單調性，aa>ba利用指數函數y=xa的單調性，aa>ab，故aa

綜合（1）（2）知，a=b.

對否定性、限定性、無窮性、存在性、肯定性、不等（相等）關系的問題，用對立聯想常可獲得解題的思路.

四、連鎖聯想

連鎖聯想，就是由數學問題已知條件或結論中涉及的知識點，聯想其特有的性質，并將相關性質適當推廣解決問題.

例4 設f（x）的值.

分析：觀察自變量的值，就能發現：是等差數列，聯想到等差數列的性質“與首末兩端等距離的項和相等”，于是又可聯想到f（x）、f（1-x）是否也有f（x）+f（1-x）為某一常數呢？

每個數學概念都有其特定的規定，故具有特定的性質，因而，抓住題中各個概念，合理地充分聯想其特定的性質，常能獲取解題途徑.

編輯：謝穎麗