基于長壽風險理論的退休年齡和投資收益率組合分析

張 寧 袁曉倩 趙 亮

（1.中央財經大學中國精算研究院，北京 100081；2.北京師范大學數學科學學院，北京 100875）

一、引言

在過去的100年里，人類的平均壽命每10年提高2.5歲，呈現出顯著的人口死亡率降低趨勢。人口壽命延長體現了社會發展水平的提高，但也帶來了長壽風險，即人口死亡率的超預期降低所帶來的風險。長壽風險對社會不同層面都產生一定影響。舉例來說，人口壽命增加給社會保障體系帶來巨大壓力，政府必須為未來的預期壽命延長建立足夠的戰略儲備資金；同樣，對于持有諸多生存保險保單的保險公司來說，也面臨著預期壽命延長所帶來的年金給付增加的壓力。對于許多金融機構來說，人口預期壽命的延長也帶來了構建新型衍生品和創新金融產品的機會。近些年，國際上關于長壽風險的研究沿著定量化的視角逐步深入，許多死亡率模型不斷被提出，這些模型可以有取舍地借鑒到我國的長壽風險研究中。

和世界其他國家一樣，我國養老體系也因長壽風險而面臨巨大壓力：人口死亡率的下降和預期壽命的延長使得老齡人口增加、預期余命延長，這一長壽風險加大了基本養老保險統籌部分的給付壓力，特別是使得個人賬戶的支付年限延長。根據現行支付安排，個人賬戶的收支缺口由統籌部分承擔。故在現行政策下，收不抵支的個人賬戶數量將增加，且個人收支缺口呈擴大趨勢。為了應對老齡化沖擊和日益加大的養老金給付壓力，我國政府不得不將改變多年的“個人賬戶空賬運行”逐步做實。

很顯然，長壽風險將對該個人賬戶的“做實”帶來重大影響。在人口死亡率超預期降低的條件下，個人賬戶按照現在人口情況進行“做實”將產生“虧空”，導致個人賬戶“財務”不平衡。為了彌補這種虧空，使個人賬戶達到平衡，學者們從不同角度進行了深入的探討，并提出了不同建議。如王積全（2005）利用蘭州市抽樣數據，對國家、企業和個人的養老負擔比例進行了深入分析，并首次在模型中引入了收繳率和工資比率等參數，基于此給出了相應的縮減缺口的政策措施。羅良清（2005）總結并完善了我國個人賬戶支付模型，使其更適合于現行養老制度的月度繳納和實際支付方式。潘春雷（2007）評估了在退休年齡、就業比例、工資水平等方面的性別差異對養老基金精算收支平衡的影響。顧文（2010）預測了未來幾十年基本養老保險制度下在職人員和退休人員的人口數據，對基本養老保險基金平衡、隱性債務規模等問題進行了測算。黃順林、王曉軍（2010）利用基于出生年效應的Lee-carter模型對中國男性人口死亡率進行了擬合，并將其預測結果對養老年金系數進行估計，發現中國現行城鎮職工養老保險的年金系數被嚴重低估，這將給未來基本養老保險個人賬戶帶來很大的償付壓力。張寧（2015）利用非線性時間序列分析中的希爾伯特-黃變換對死亡率進行了不同風險層次的劃分，并基于此提出了“長壽風險分級基金”來應對個人賬戶和統籌賬戶的“老齡化”壓力。

本文借鑒現有國內外研究成果，嘗試運用國外研究中應用較為廣泛的Lee-Carter模型的改進版——泊松對數雙線性模型和隨機模擬方法，在對未來人口死亡率曲線進行預測的基礎上，分析不同退休年齡和投資收益率的最佳組合。泊松對數雙線性模型的優點是能夠預測出在一定概率下未來人口死亡率的區間估計，從而可以更好地評估個人賬戶收支在未來面臨的不確定性，并且量化不同政策或假定對于賬戶缺口的影響程度，給出特定缺口水平下的參數設定水平。

二、長壽風險模型與數據來源

1992年提出的Lee-Carter模型是長壽風險模型的重要開端，該模型通過時間和年齡兩個角度來擬合中心死亡率的對數：

在上述模型（1）中，αx代表不同年齡在所有時間的對數死亡率平均，反映了年齡對死亡率的影響；kt代表了時間對死亡率的影響；βx描述了不同年齡的人群對時間影響的敏感程度，即斜率。

該模型對美國以及加拿大的死亡率擬合較好，但也存在許多問題，例如高齡擬合以及共線性等問題。對此也有一些相應的改進模型，例如引入世代效應的APC模型，利用非線性序列分析方式，或者利用長壽風險指數進行測度。其中有一種改進方法被普遍使用，即通過引入泊松假設，假設死亡人口服從泊松分布，可以基于Lee-Carter模型建立泊松雙線性模型（Possion log-bilinear）：

該模型和Lee-Carter模型有同樣的參數限制，以確定唯一的參數。

同時，由于引入了泊松分布，我們用最大似然估計來代替Lee-Carter模型的SVD求解方法。

在模型（4）中，constant表示常數，kt反映了每個年齡的中心死亡率隨時間變化的趨勢。未來的死亡率可以通過如下方式進行估計，同時可以用Bootstrap方法來進行區間估計：

本文使用的數據是1994—2010年的人口死亡率數據，數據來源是中國人口統計年鑒。分組方式是每個年齡一組，同時設定最高年齡組為90+。由于1996年、2005年和2010年的數據一直延伸到100+，為了保持一致，將90歲以上的數據合并，形成90+的年齡組數據。

分組后，我們首先獲得不同年齡和性別的死亡人數以及年中人口數據，這些數據形成了兩個矩陣。同時我們還獲得死亡率數據。這里，男性年齡x范圍為60，61，…，90+；女性年齡x范圍為55，56，…，90+；而時間t為1994，1996，…，2010。由于1995年數據缺失且1994年抽樣時間較晚，故時間維度沒有考慮1995年。

本文所使用的軟件是R軟件，該軟件是奧克蘭大學兩位學者開發的免費開源軟件，提供了跨平臺的數學計算環境，世界各地的開發者為它開發了多種免費軟件包；正是由于其免費開源特征，R軟件已經成為學術界和數據處理領域最廣泛使用的軟件之一。

三、未來中國人口死亡率預測

下面，我們基于泊松雙線性模型（2），用最大似然估計（4）來擬合中國人口死亡率數據（1994—2010），可以得到對應的α、 β、k三個參數，其結果如圖1所示。其中左側為男性擬合后的參數計算結果，右側為女性擬合后的參數計算結果。

從擬合后計算的參數結果來看，無論是男性還是女性，參數k在16年里整體上呈現下降的趨勢。由于其在一定程度上代表了人口整體的平均死亡率，因此可以說人口死亡率呈現下降趨勢，中國社會存在長壽風險，其下降的斜率代表了長壽風險的嚴重程度。同時，由于參數 β表示了年齡范圍對長壽風險的作用，從圖1中（第二行兩張圖）可以看出，人口死亡率的降低主要體現在80歲以上的人口中，這說明我國超老齡人口的健康狀況改善程度要超過普通老齡人口。除了趨勢之外，我們可以在圖中看到結果的波動，這是由于人口抽樣所帶來的干擾：我國人口死亡率數據一般采取百分之一人口抽樣，而不是100%的人口普查。

圖1：中國人口擬合的參數計算結果（左側為男性，右側為女性）

圖2給出了擬合后的死亡率數據情況，其中左列為男性，右列為女性。第一行是對數據曲面的擬合情況（R2=0.92），第二行是時間維度不同年齡的死亡率情況（R2=0.97），第三行是年齡維度不同時間的死亡率（R2=0.95）。

從R2看，擬合結果整體較好。特別地，對于不同年齡的時間維度擬合效果相對較弱，這是受數據集的影響，因為2010年和2000年為普查數據，而其他時間樣本為抽樣數據，抽樣數據獲得的模型參數對普查數據的擬合有一定偏差，曲面擬合也受到此原因影響，這是本文需要進一步改進的地方。

從圖2中可以看到，隨著時間的增加，各年齡段的死亡率整體上呈現下降趨勢（第二行圖），同時隨著年齡的增加，死亡率上升，同時死亡率最高的年代時間是1994年和1996年（第三行圖）。

為了更好地度量長壽風險并對未來死亡率進行預測，我們需要對死亡率kt進行時間序列建模并預測，這里我們采用的時間序列模型是ARIMA（0，1，0）。具體的區間預測結果如圖3所示。

上圖2中給出死亡率逐漸降低的過程，并根據其結果，重新利用雙線性模型，能夠得到未來人口在2011—2020年的死亡率預測，該結果如圖4所示。

圖2：數據擬合結果

需要特別提到的是，在我們使用的數據中，2000年和2010年的數據是通過人口普查得到的，其他年份的數據是通過百分之一人口抽樣調查獲得的，很顯然普查數據比抽樣數據更可靠，這也表現在數據擬合時，結果會有一定的波動。如何利用普查數據進行抽樣數據調整，這是本文需要進一步完善的地方。

從預測結果看，各年齡段的人口死亡率都呈現了逐步降低的過程，而且這種降低的趨勢并沒有減緩，這也預示著長壽風險將長期存在。具體到各年齡段可以發現，死亡率降低水平在不同年齡人群之間存在差別，例如青少年人群（10—19歲）死亡率改善情況相對老年人（50—60歲）要低一些，而高齡老人（80歲以上）的死亡率改善則呈現很大波動性。

四、退休年齡與投資收益率分析

為了對個人賬戶平衡進行計算，我們用泊松Bootstrap方法來產生1000個未來死亡率樣本并利用這些樣本來模擬未來死亡率，該模擬包括所有年齡（男性是60—90歲，女性是55—90歲），時間是2011—2050年。泊松Bootstrap是一種隨機再抽樣方法。表1給出了60歲的人口未來預期余命的變化。

從表1可以看到，在2011年60歲男性的余命為24.18歲，但是到了2020年，余命變為25.74歲，該結果比歷史數據總結出來的要快，這正是長壽風險中風險的含義。同樣對于女性來說，60歲人口在2011年的平均余命為26.05歲，但到了2020年為27.18歲，從中還可以看到男女預期余命的差距在縮小。

在確定收益模式（DB）下，個人賬戶的平衡公式由（6）給出。

圖3：ARIMA（0，1，0）的結果

表1：2011—2020年60歲人口的預期余命變化（基于Bootstrap，1000次模擬）

在這里，a為進入養老年金系統的年齡；b為退休年齡；splan為退休后個人賬戶的替代率；ωb-1為在年齡b-1時候的工資；c為貢獻率；g為工資增長率；i為投資收益率。根據當前的中國養老金現狀，我們設定的參數為：c=8%，g=10%，i=4%，a=25，b=60（男性），b=55（女性）。

這樣，通過Bootstrap方式得到的1000個死亡率抽樣樣本，我們可以計算出不同退休年齡下的替代率的點估計和區間估計（95%置信度），結果如表2所示。

表2：2015年男性的替代率估計

從表2可以看到，在當前的狀態下（當前參數設定下），個人賬戶在退休時候的替代率僅僅8%左右。為了進一步計算最佳退休年齡，我們設定特定的替代率，并由此計算對應的退休年齡。

同時，我們還注意到，如果個人賬戶替代率達到預定的10%，那么退休年齡至少要66歲，也就是說，在2015年如果男性退休年齡為66歲的話，個人賬戶的替代率滿足10%左右的要求。

圖4：未來死亡率預測結果

在考慮退休年齡的同時，我們也可以從另外一個角度分析，即研究公式中表示投資收益率的i，如果投資收益率上升的話，其退休后領取的年金增加，也可以提高替代率，因此投資收益率和退休年齡密切相關。下面我們將根據上述計算，設定替代率為10%左右，用Bootstrap方式模擬，來得到對應的關系。

首先設定投資收益率i為5%，來看一下男性在不同時間（年代）的退休年齡。結果如表3所示，此時個人賬戶替代率將保持在10%左右。

表3：男性最優退休路徑 （投資收益率i=5%）

接下來設定投資收益率i為6%，計算結果如表4所示。可以看到，到2020年前，男性退休年齡無須提高，也能保持替代率為10%。

表4：男性最優退休路徑 （投資收益率i=6%）

表5和表6分別給出了女性當投資收益率在5%和6%時的退休路徑。

表5：女性最優退休路徑 （投資收益率i=5%）

表6：女性最優退休路徑（投資收益率i=6%）

從表5、表6可以看到，如果在投資收益率為5%的情況下，女性的退休年齡大幅度增加，比目前的55歲提升了10歲多，只有這樣才能保持個人賬戶的10%替代率。而即使在投資收益率變為6%的時候，退休年齡也需要從2013年開始調整，并從61歲開始。

如果要維持當前的女性退休年齡，我們可以計算出投資收益率大約為7%，表7給出了此時的女性退休年齡情況以及個人賬戶替代率。

由此可以看到，長壽風險給個人賬戶帶來的壓力方面，女性要比男性大得多。

表7：女性最優退休路徑（投資收益率i=7%）

當前我們實行的是男女統籌，在這種情況下，通過進行不同的退休年齡匹配，并考慮當前的政策環境，我們得到了比較合理的投資收益率是6.1%，其退休年齡和投資收益率的關系如表8所示。

表8：男女統籌情況下最優退休路徑（投資收益率i=6.1%）

綜合計算和模擬結果，可以得出如下結果：

（1）當我們保持個人賬戶替代率為10%的目標的時候，男性可以在5%的投資收益率下，提升退休年齡到63歲（2020年）。該投資收益率與當前市場情況符合，可以認為此退休路徑是可行的。

（2）女性的個人賬戶壓力較大。當我們維持5%的投資收益率的時候，女性的退休年齡已經達到了65歲。如此快速的提升是不可行的。對此，只有提升投資收益率來進行彌補，計算表明投資收益率達到7%的時候，女性退休年齡可以逐步提升到56歲。盡管這個結果與現在情況銜接較好（女性工人50歲退休，女性干部55歲退休），但該投資收益率已經超過市場險資的平均投資收益率（2015年，5%左右），綜合考慮目前的貨幣政策，會有一定的實現難度。

（3）為了減少女性個人賬戶的壓力，可以考慮男女統籌計算，我們進一步的計算表明，此時需要維持投資收益率在6.1%左右。與此相配合，男性退休年齡逐步過渡到62歲，而女性逐步過渡到60歲。

五、結論

本文利用泊松雙線性模型來度量中國長壽風險，該方法比較好地避免了Lee-Carter模型所帶來的共線性等問題；利用該模型，我們基于Bootstrap方法模擬未來的死亡率曲線，從而對個人賬戶平衡進行了計算，由此分析了不同退休年齡與投資收益率的組合。

從組合情況看，當我們維持5%的投資收益率，男性可以逐步延遲退休到63歲（到2020年）；而對女性來說，5%的收益率不足以抵消死亡率改善的效果，即使投資收益率達到7%，女性退休年齡仍然需要在2020年提升到56歲。

如果將男女統一起來解決女性個人賬戶壓力，則需要維持的投資收益率為6.1%。如果考慮養老金未來入市，投資收益率達到6%以上，那么這個方案是可行的。

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