反例在中學數學中的教學實踐

樹本柏

反例教學即是對數學知識進行否定的論證，是一種較為特殊的教學手段。通常，我們會用命題的形式。欲證明命題的正確性，往往需要進行嚴謹的數學邏輯證明，但欲說明一定理的錯誤性，我們只需找出反例即可。單純依靠正確示范和反復訓練難以激發學生潛能，也會阻礙學生對知識的深入理解。在本文中，我們將從反例在中學數學教學中的實踐應用出發，探究其在教學中的特殊作用。

一、巧用反例，概念辨析

數學概念是數學學科的根基和基礎，是學生們數學學習的前提。在傳統的數學概念教學中，我們往往通過正向證明和反復訓練來達到深化學生理解的目的。但是，這樣的做法只能幫助學生搞清數學概念“是什么”，對其“不是什么”的理解仍有欠缺。

例如，在進行單項式與多項式的辨析教學中，我為學生們提出了如下的問題。已知 、 、-5xyz，其中哪些屬于單項式？首先，我們已經給學生們明確了單項式的定義，即是數字與字母的積組成的代數式。然后，我要求學生們嘗試判斷。有學生們回答， 、-5xyz是單項式， 不是；還有學生回答，-5xyz是單項式，其余的不是。學生們的答案五花八門，由此可見，對染學習了單項式的概念，但還缺乏對單項式的深入辨析教學。于是，我利用反例對學生進行引導教學。對于 ，我們可以將a視作與x、y、z類似的字母，將 看作數字，則可以判斷 為單項式。對于 ，它可以視作數字1與字母x的商，則不是單項式。對于-5xyz，它可以看作-5與xyz的積，也是單項式。如此一來，通過上述的反例與正向概念辨析，學生們對單項式的概念與判斷必然可以進一步深入理解。在今后遇到復雜形式的代數式，按照上述步驟進行分析，必然可以正確判斷。

二、構造反例，簡化證明

除了概念教學，反例的應用在中學數學公式、定理以及性質教學中也有重要的作用。在初中幾何證明教學中，我們向學生們明確表態，要想證明一個定理的正確性，必須通過嚴密的邏輯論證的方式。但在判斷某一定理的錯誤性，我們只需找出一個反例即可說明。

例如，在中學數學三角形全等的教學上，我們可以運用角邊角、邊角邊、邊邊邊等證明手段。但由于缺乏反例教學，學生們遇到類似的辨析題時依然難以做出正確選擇。于是，我給出了以下的判斷訓練。

【例題】1.有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩三角形全等。

2.有三個角對應相等的兩個三角形全等。

3.有兩邊及第三條邊上的高相等的三角形全等。

【分析】在三角形全等的判斷上，必須具備三個獨立的條件。對于第一問，學生們在邊角邊的證明基礎上必然難以理解。對此，我為學生們列舉了一個反例，如圖所示，AD=AC，∠C=∠D。顯然，△ABD與△ABC并不全等。對于第二問，我們可以選取兩個大小不同的等邊三角形，由等邊三角形的性質可知三角對應相等，而其邊長不等，導致兩三角形不全等。對于第三問，我們可以兩個等腰三角形來說明，一個是銳角、一個鈍角，很容易控制他們底邊的高相等，而這兩個三角形也不全等。通過上述反例的構造，學生們判斷或證明上述定理的過程中，只要選取一個反例進行說明即可，有效簡化了證明過程。

三、發現反例，糾正錯誤

很多時候，我們不需要刻意的去構造反例，學生們的作業中就會出現很多現成的反例。而且，這些反例更加具有代表性和說服性。通過作業批改過程中，我將學生們常見的一些錯誤制作成反例的形式展現出來，從而強化學生記憶，幫助學生及時糾正解題錯誤。

【例題】已知a、b是方程x2-2（k-1）x+k2=0有兩個實數根，且a2+b2=4，試求k。

【分析】中學生們在大量的訓練下，拿到本題的第一反應就是使用韋達定理。由題中已知條件可知，a+b=2（k -1）、ab=k2。此時，結合a2+b2=4可知，（a+b）2=a2+b2+2ab，即是（a+b）2= 4+2ab。于是，將上述表達式帶入其中可得，2k2-8k+4=4，化簡后即可得到k2-4k=0。最終，我們便可以求出k1=0、k2=4。此時，很多學生該題已經順利完成了，內心除了激動就是開心。他們尚不知，若是此題是填空題，他們的得分為零。由于題中給出條件“方程有兩個實根”，所以我們還需要對△值進行正確性驗證。△=4（k-1）2-4k2，簡化后的△=-8k+4。結合△≥0，我們可知k1=0（滿足），k2=4（舍去）。即是k=0才是本題最終的正確答案。通過對本題的反例與正解的教學，學生們對方程未知數求解后的檢驗認識得到強化。同時，通過對學生們的褒貶，實現了對學生沉著冷靜解題作風的培養，有利于學生解決一些復雜性、綜合性的辨析題。類似的反例教學可以為學生們留下深刻的印象，給他們敲響警鐘，這些作用都是正向教學所無可比擬的。

四、運用反例，獲取真理

數學思維是數學學科的核心和靈魂，在中學數學教學中，有效的思維訓練必不可少。受到傳統數學教學模式的阻礙，中學生們普遍缺乏質疑和創新意識。很多時候，即是學生們發現教師的錯誤，他們也不愿意提出。對此，我們可以利用反例，強調真理發展的遞進性。在日常的數學教學中，我們不妨故意設置一些反例的質疑點，引導學生發現問題所在，從而掌握數學思維。

總之，反例教學以其直觀性、說服性、簡明性等特點，已經贏得了廣大中學數學教師的關注。對此，我們必須堅持反例的使用，在概念、案例學思維的訓練上，灌輸反例教學，鼓勵學生突破傳統解題思維的限制。

（作者單位：江蘇省射陽縣實驗初級中學）