反例在中學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)實(shí)踐

樹(shù)本柏

反例教學(xué)即是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行否定的論證，是一種較為特殊的教學(xué)手段。通常，我們會(huì)用命題的形式。欲證明命題的正確性，往往需要進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯證明，但欲說(shuō)明一定理的錯(cuò)誤性，我們只需找出反例即可。單純依靠正確示范和反復(fù)訓(xùn)練難以激發(fā)學(xué)生潛能，也會(huì)阻礙學(xué)生對(duì)知識(shí)的深入理解。在本文中，我們將從反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用出發(fā)，探究其在教學(xué)中的特殊作用。

一、巧用反例，概念辨析

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的根基和基礎(chǔ)，是學(xué)生們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前提。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，我們往往通過(guò)正向證明和反復(fù)訓(xùn)練來(lái)達(dá)到深化學(xué)生理解的目的。但是，這樣的做法只能幫助學(xué)生搞清數(shù)學(xué)概念“是什么”，對(duì)其“不是什么”的理解仍有欠缺。

例如，在進(jìn)行單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的辨析教學(xué)中，我為學(xué)生們提出了如下的問(wèn)題。已知 、 、-5xyz，其中哪些屬于單項(xiàng)式？首先，我們已經(jīng)給學(xué)生們明確了單項(xiàng)式的定義，即是數(shù)字與字母的積組成的代數(shù)式。然后，我要求學(xué)生們嘗試判斷。有學(xué)生們回答， 、-5xyz是單項(xiàng)式， 不是；還有學(xué)生回答，-5xyz是單項(xiàng)式，其余的不是。學(xué)生們的答案五花八門(mén)，由此可見(jiàn)，對(duì)染學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式的概念，但還缺乏對(duì)單項(xiàng)式的深入辨析教學(xué)。于是，我利用反例對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)教學(xué)。對(duì)于 ，我們可以將a視作與x、y、z類(lèi)似的字母，將 看作數(shù)字，則可以判斷 為單項(xiàng)式。對(duì)于 ，它可以視作數(shù)字1與字母x的商，則不是單項(xiàng)式。對(duì)于-5xyz，它可以看作-5與xyz的積，也是單項(xiàng)式。如此一來(lái)，通過(guò)上述的反例與正向概念辨析，學(xué)生們對(duì)單項(xiàng)式的概念與判斷必然可以進(jìn)一步深入理解。在今后遇到復(fù)雜形式的代數(shù)式，按照上述步驟進(jìn)行分析，必然可以正確判斷。

二、構(gòu)造反例，簡(jiǎn)化證明

除了概念教學(xué)，反例的應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)公式、定理以及性質(zhì)教學(xué)中也有重要的作用。在初中幾何證明教學(xué)中，我們向?qū)W生們明確表態(tài)，要想證明一個(gè)定理的正確性，必須通過(guò)嚴(yán)密的邏輯論證的方式。但在判斷某一定理的錯(cuò)誤性，我們只需找出一個(gè)反例即可說(shuō)明。

例如，在中學(xué)數(shù)學(xué)三角形全等的教學(xué)上，我們可以運(yùn)用角邊角、邊角邊、邊邊邊等證明手段。但由于缺乏反例教學(xué)，學(xué)生們遇到類(lèi)似的辨析題時(shí)依然難以做出正確選擇。于是，我給出了以下的判斷訓(xùn)練。

【例題】1.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等。

2.有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

3.有兩邊及第三條邊上的高相等的三角形全等。

【分析】在三角形全等的判斷上，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件。對(duì)于第一問(wèn)，學(xué)生們?cè)谶吔沁叺淖C明基礎(chǔ)上必然難以理解。對(duì)此，我為學(xué)生們列舉了一個(gè)反例，如圖所示，AD=AC，∠C=∠D。顯然，△ABD與△ABC并不全等。對(duì)于第二問(wèn)，我們可以選取兩個(gè)大小不同的等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可知三角對(duì)應(yīng)相等，而其邊長(zhǎng)不等，導(dǎo)致兩三角形不全等。對(duì)于第三問(wèn)，我們可以?xún)蓚€(gè)等腰三角形來(lái)說(shuō)明，一個(gè)是銳角、一個(gè)鈍角，很容易控制他們底邊的高相等，而這兩個(gè)三角形也不全等。通過(guò)上述反例的構(gòu)造，學(xué)生們判斷或證明上述定理的過(guò)程中，只要選取一個(gè)反例進(jìn)行說(shuō)明即可，有效簡(jiǎn)化了證明過(guò)程。

三、發(fā)現(xiàn)反例，糾正錯(cuò)誤

很多時(shí)候，我們不需要刻意的去構(gòu)造反例，學(xué)生們的作業(yè)中就會(huì)出現(xiàn)很多現(xiàn)成的反例。而且，這些反例更加具有代表性和說(shuō)服性。通過(guò)作業(yè)批改過(guò)程中，我將學(xué)生們常見(jiàn)的一些錯(cuò)誤制作成反例的形式展現(xiàn)出來(lái)，從而強(qiáng)化學(xué)生記憶，幫助學(xué)生及時(shí)糾正解題錯(cuò)誤。

【例題】已知a、b是方程x2-2（k-1）x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a2+b2=4，試求k。

【分析】中學(xué)生們?cè)诖罅康挠?xùn)練下，拿到本題的第一反應(yīng)就是使用韋達(dá)定理。由題中已知條件可知，a+b=2（k -1）、ab=k2。此時(shí)，結(jié)合a2+b2=4可知，（a+b）2=a2+b2+2ab，即是（a+b）2= 4+2ab。于是，將上述表達(dá)式帶入其中可得，2k2-8k+4=4，化簡(jiǎn)后即可得到k2-4k=0。最終，我們便可以求出k1=0、k2=4。此時(shí)，很多學(xué)生該題已經(jīng)順利完成了，內(nèi)心除了激動(dòng)就是開(kāi)心。他們尚不知，若是此題是填空題，他們的得分為零。由于題中給出條件“方程有兩個(gè)實(shí)根”，所以我們還需要對(duì)△值進(jìn)行正確性驗(yàn)證。△=4（k-1）2-4k2，簡(jiǎn)化后的△=-8k+4。結(jié)合△≥0，我們可知k1=0（滿(mǎn)足），k2=4（舍去）。即是k=0才是本題最終的正確答案。通過(guò)對(duì)本題的反例與正解的教學(xué)，學(xué)生們對(duì)方程未知數(shù)求解后的檢驗(yàn)認(rèn)識(shí)得到強(qiáng)化。同時(shí)，通過(guò)對(duì)學(xué)生們的褒貶，實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生沉著冷靜解題作風(fēng)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生解決一些復(fù)雜性、綜合性的辨析題。類(lèi)似的反例教學(xué)可以為學(xué)生們留下深刻的印象，給他們敲響警鐘，這些作用都是正向教學(xué)所無(wú)可比擬的。

四、運(yùn)用反例，獲取真理

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心和靈魂，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有效的思維訓(xùn)練必不可少。受到傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式的阻礙，中學(xué)生們普遍缺乏質(zhì)疑和創(chuàng)新意識(shí)。很多時(shí)候，即是學(xué)生們發(fā)現(xiàn)教師的錯(cuò)誤，他們也不愿意提出。對(duì)此，我們可以利用反例，強(qiáng)調(diào)真理發(fā)展的遞進(jìn)性。在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不妨故意設(shè)置一些反例的質(zhì)疑點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所在，從而掌握數(shù)學(xué)思維。

總之，反例教學(xué)以其直觀性、說(shuō)服性、簡(jiǎn)明性等特點(diǎn)，已經(jīng)贏得了廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師的關(guān)注。對(duì)此，我們必須堅(jiān)持反例的使用，在概念、案例學(xué)思維的訓(xùn)練上，灌輸反例教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生突破傳統(tǒng)解題思維的限制。

（作者單位：江蘇省射陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）