基于Cornish-Fisher展開式的中國股市高頻數據VaR風險實證研究

摘 要：實際市場收益率的尾部普遍展現出比正態分布寬大的“厚尾”特征，通過Cornish-Fisher 方法修正正態分布，可使其適合股票市場的實際情況。用滬深300指數的5分鐘高頻數據構造已實現波動率，來考察中國股票市場的波動特征，試圖將高頻金融數據的“已實現”波動率引用到基于Cornish-Fisher的VaR模型當中。通過與正態分布假設的VaR的返回測試對比，從實證的角度論證Cornish-Fisher擴展方法在VaR估計中的有效性，基于數據特征的Cornish-Fisher擴展方法有效地改善了VaR的估值。

關鍵詞：已實現波動率；高頻數據；Cornish-Fisher；VaR

中圖分類號：F830.92 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2012）05-0161-02

引言

近十幾年來，金融創新加速了金融衍生工具的發展，金融市場危機事件發生也越來越頻繁。異常事件發生的概率雖然很小，卻常常隱含著巨大的風險。目前，國際標準風險管理工具VaR是由J.P.Morgan投資銀行在1994年的RiskMetrics系統中提出的。

傳統VaR的研究核心是對金融資產收益率統計分布進行分析，利用歷史信息對未來的收益分布進行預測。但是，收益率通常并不服從事先假定分布。一些學者開始以不假定收益率分布的方法來估計VaR值，比如Koenker和Pack（1996），[1]Engle和Manganelli（2004），[2]Taylor（2000）[3]等等。Zangari（1996）[4]利用Cornish-Fisher展開式得到修正的VaR。但是VaR的度量除了與分布有關，還與收益率序列的波動性有關。

由于金融市場的信息是連續影響資產價格運動過程的，所以數據頻率越低，損失的信息越多。基于高頻時間序列Anaersen和Bollerslev（2001）[5] 提出了已實現波動（Realized Volatility）。它不同于GARCH類模型和SV類模型，沒有模型，不需要進行復雜的參數估計。但在實際情況下，已實現波動率的一致性卻因為抽樣頻率的限制而不能實現。針對上述情況，Barndroff-Nielsen（2006）[6]，Martens[7]和Dijk（2004）[8]， 提出加權已實現波動與校正的已實現波動。Pierre Giot和Sebastien Laurent（2004）[9]研究了已實現波動率在VaR上的應用，并將其與基于ARCH模型的VaR進行了比較研究。張世英（2004）[10]分析研究了已實現波動率在VaR計算方法中的實證研究。

本文運用高頻數據構造已實現波動，研究收益率分布和已實現波動率的分布特性，建立ARFIMA模型，然后運用最大似然估計法估計參數，最后計算基于已實現波動率的Zangari（1996）VaR。

一、有關理論

（一）基于Cornish-Fisher展開式的VaR模型

Cornish-Fisher方法的基本思想是任何一個經驗分布都可以被正態分布所表示。它是由Cornish和Fisher（1937）所提出的。Zangari（1996）結合實際中收益率的波動特征，在VaR的計算中引用Cornish-Fisher擴展方法，用以修正正態假定下的VaR。Zangari（1996）通過高階矩修正VaR表示如下：

（1）

其中條件均值，條件方差，金融收益序列的q分位數值，它的表達式：

（2）

所以，關鍵在于估計正確的q分位數值以及建立正確的波動率模型。Sp是偏度，kp是峰度，zq表示。

（二）已實現波動率的ARFIMA模型

假定Pt，i為第t天的第i個時間段的日內收盤價格，其中i表示N個長度為Δ的時間段，N=[1/Δ]，第i個Δ的已實現波動率定義如下： （3）

但是，Hansen和Lunde（2005）指出，由于股票市場交易的不連續性，能夠采集的高頻數據無法反應無交易時段的市場波動情況。本文根據Martens和Dijk（2007）對已實現波動的調整如下： （4）

其中，rt表示第t天的收益率，RV′t表示未調整已實現波動。

Andersen，Bollerslev，Diebold和Labys（2003）表明對數已實現波動率近似服從正態分布，具有分數單整的特征。建立分整自回歸移動平均模型（ARFIMA）具體模型如下：

（5）

其中d是分數綜合參數，，，分別描述自回歸和移動平均項，μ為的均值InRVt。但是已實現波動率不是條件方差，條件已實現波動率定義如下： （6）

二、實證

（一）數據的選取及其統計特征

本文采用滬深300指數的5分鐘數據來考察該樣本指數的波動特征，樣本區間為2009年7月27日到2011年5月8日，共429個交易日，每個交易日共有48個區間數據，即I=48，T=429，共有20 592個區間數據。表1分別給出了滬深300指數的日收益率r，調整后的已實現波動RV，調整后的對數lnRV的描述性統計量。

表1 波動率估計量的描述性統計

上述數據表明：收益率序列和已實現波動率序列不是正態的，但是對數已實現波動率接近正態分布。

（二）基于已實現波動率的Cornish-Fisher-VaR的計算

首先用GPH方法求出d值，對分數差分后，相當于是ARMA模型。通過反復檢驗，選擇ARFIMA（0，d，1）建模，模型的參數估計結果如下：

（7）

鑒于上面的結果，通過公式求得條件方差，基于已實現波動率的CF-VaR的表達式：，考慮到收益率的分布并不是正態分布，基于正態分布假設和基于Cornish-Fisher展開式逼近分布下的結果如下：

表2 滬深300在99%下的基于已實現波動率的VaR

由表2可知，在正態分布下，滬深300在99%的概率下最大損失不超過0.0612。基于Cornish-Fisher展開式的VaR值相應比前者大，說明基于正態分布假設的VaR值低估了實際的風險。

（三）Cornish-Fisher-VaR的返回測試

為了進行VaR的返回測試，假設零假設是日對數收益率超出VaR，那么，非條件檢驗統計量的似然函數比率為：

（8）

上式中T表示序列總長度，N表示超越值的個數，如果的卡方檢驗顯著，即檢驗值大于在概率水平下分布的臨界值，拒絕零假設，說明模型是不可靠的。表3給出了置信度分別為95%和99%下的VaR估計值的返回測試結果及LR統計量。

表3 基于已實現波動率下的VaR估計值的返回測試結果

LR統計量在95%的置信水平下，臨界值為3.841；在99%的置信水平下，臨界值為6.635。如果LR大于臨界值，則拒絕本模型。以上結果顯示，基于正態假設的VaR值在95%和99%的置信水平下都沒有通過檢驗，說明基于正態分布假設的VaR會低估風險，基于Cornish-Fisher展開式的VaR值在99%置信度下通過了檢驗，而95%置信度下拒絕了假設。

三、結論

本文避免對收益率服從的分布作出某種特定假定，根據數據特征，利用Cornish-Fisher展開式得到修正的分布的VaR計算方法。從實證分析角度，通過對正態方法與Cornish-Fisher擴展方法估計VaR值的比較，結合已實現波動的Cornish-Fisher擴展的VaR模型是有效的。VaR的度量除了與收益率序列的波動性有關，還與收益率概率分布有關。在收益率概率分布估計方法尚未確定以前，將樣本數據特征納入風險度量的計算則不失為一種改進風險判斷的有效途徑。

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[責任編輯 李 可]