高職院校常微分方程教與學

張春紅

摘 ?要：常微分方程是高職院校理工科專業(yè)開設(shè)的高等數(shù)學課程中重要的知識內(nèi)容之一。文章針對高職院校的學生特性和常微分方程知識點的特性， 分析教學內(nèi)容及方法，引導(dǎo)學生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從繁到簡如何學好常微分方程相關(guān)內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：常微分方程;教與學

常微分方程是高職院校高等數(shù)學的一個組成部分，，在高等數(shù)學中占據(jù)著重要位置，在理工科的專業(yè)課程中涉及廣泛。

常微分方程不同于一般的方程，一般方程反應(yīng)的是變量之間的函數(shù)關(guān)系式，而常微分方程是反應(yīng)待求函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式，在建立微分方程后，找出滿足該方程的未知函數(shù)的過程，就是解微分方程。

常微分方程對解決實際問題具有重要的意義。常微分方程在很多學科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動控制、各種電子學裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。應(yīng)該說，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發(fā)展，使這門學科的理論更加完善。

高職院校在高等數(shù)學課程中講解常微分方程，主要是為各專業(yè)課程服務(wù)，使學生在后續(xù)的專業(yè)課程學習和工作中能夠理解分析并運用常微分方程，分析處理相關(guān)問題。

一、教學分析

（一）學生特性。目前，高職院校的生源都是高等本科院校錄取后的生源，其來源主要有三類：一是通過普通高考招收普通高中生，二是通過對口考試招收的職業(yè)高中生，三是3+2、2+3考試招收的中專、職中生。

（二）教學內(nèi)容特性。可分離變量的微分方程;一階線性微分方程及其應(yīng)用;二階常系數(shù)齊次線性微分方程和二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。這些內(nèi)容只是常微分方程領(lǐng)域里的冰山一角，但對于高職院校學生來說具有一定的難度。如何引導(dǎo)學生掌握相關(guān)的知識，并將所學內(nèi)容運用到平時的工作和生活中，最終達到提高分析和解決問題能力的素質(zhì)目標。是承擔常微分方程內(nèi)容教學面臨的一個具體而現(xiàn)實的問題。

二、教學思路

（一）把握學科特性。數(shù)學的學習，簡單說來，就是定義、公式、性質(zhì)、定理等的理解與運用。常微分方程作為數(shù)學的一個分支，學習的過程中同樣具有這些特性。所以我們在學習定義、公式、性質(zhì)、定理等知識點的時候特別強調(diào)理解的重要性，在學習例題和做練習題時則強調(diào)能活運用的重要性。

（二）把握知識點特性。（1）微分方程的基本概念。從微分方程的定義我們可以知道，一個方程中只要含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分），就可判斷為微分方程。所以我們在理解基本概念的時候要抓住主要特性。（2）可分離變量的微分方程。該微分方程的特點是等式右邊可以分解成兩個函數(shù)之積，其中一個僅是x的函數(shù)，另一個僅是y的函數(shù)，即f（x），g（x）分別是變量x，y的已知連續(xù)函數(shù).可分離變量的微分方程的 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求解方法，一般有如下兩步：

第一步：分離變量g（y）dy=f（x）dx，

第二步：兩邊積分

第三步：計算上述不定積分，得通解。因此，求解可分離變量的微分方程，只需兩步：第一步，分析化簡為可分離變量的微分方程;第二步，兩邊積分求得其通解。（3）一階線性微分方程及其應(yīng)用。1）先求出非齊次線性方程所對應(yīng)的齊次方程的通解;

2）根據(jù)所求出的齊次方程的通解設(shè)出非齊次線性方程的解（將所求出的齊次方程的通解中的任意常數(shù)C改為待定函數(shù)）即可。3）將所設(shè)解代入非齊次線性方程，解出，并寫出非齊次線性方程的通解。一階線性微分方程的學習最后濃縮成兩個公式，一是齊次線性方程通解的表達式;而是非齊次線性方程通解的表達式。一階線性微分方程的應(yīng)用實際上是這兩個公式運用于實際的過程，或者說運用這兩個公式解決實際問題的一個過程。（4）二階常系數(shù)齊次線性微分方程。 ? ?首先應(yīng)會判斷什么是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，然后理解二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的形式。求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟為：

第一步，寫出微分方程的特征方程;

第二步，求出特征根;

第三步，根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。兩個不等實根

兩個相等實根

一對共軛復(fù)根

所以，求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程，掌握這三種情況，直接套用公式就能游刃而解。（5）二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解方法，由非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)定理可知，求非齊次方程的通解，可先求出其對應(yīng)的齊次方程的通解，再設(shè)法求出非齊次線性方程的某個特解，二者之和就是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程之通解。

三、教學結(jié)論

常微分方程這一模塊，涉及到微分方程的基本概念;可分離變量的微分方程;一階線性微分方程及其應(yīng)用;二階常系數(shù)齊次線性微分方程和二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。在具體的學習過程中，首先會判斷屬于那種形式的微分方程，如果是可分離變量的微分方程，直接分離變量再積分就可。如果是一階線性微分方程，根據(jù)齊次和非齊次而套用不同的通解公式即可求出通解。如果是二階常系數(shù)齊次線性微分方程或者二階常系數(shù)非齊次線性微分方程則根據(jù)實際情況套用相關(guān)公式，再計算化簡涉就能求得通解。所以，在解常微分方程的過程中，先看微分方程符合哪類，然后再根據(jù)具體情況運用公式求通解。求解常微分方程簡單而言就是套用公式的過程。

高職院校學生在學習的過程中，只看到了常微分方程復(fù)雜的表面，實際上如果稍微深入研究就會明白，在常微分方程類型確定后，只是一個套用公式由繁化簡的過程。什么類型就套用什么公式，然后計算化簡求通解。

綜上所述，我們在常微分方程的學習中要透過繁雜的表面看簡單的本質(zhì)，透過繁瑣的文字說明看體現(xiàn)本質(zhì)的核心內(nèi)容。這樣就能由繁到簡的學好常微分方程。

參考文獻：

[1] 王高雄，周之銘.常微分方程[M].2 版.北京：高等教育出版社，1983

[2] 李宏平.廖仲春.應(yīng)用數(shù)學[M].湖南大學出版社，2010