函數奇偶性、周期性及圖象對稱性關系分析

謝瓊先

【摘 要】函數奇偶性、周期性及圖象對稱性的關系在數學中的重要性眾所周知，但其三者之間究竟有著什么樣的關系呢，本文就此進行分析與探討。

【關鍵詞】函數奇偶性;周期性;圖象的對稱性;關系分析

在函數的學習中，其奇偶性、周期性及圖象的對稱性是非常重要的性質，解題中有著廣泛的應用。筆者在此想從函數的奇偶性、周期性定義出發進行類比、聯想，再結合函數性質探討它們之間及圖象的對稱性之間的相互聯系及應用。

（一）首先奇偶函數及周期函數的定義及定義式：f（-x）=f（x）;f（-x）=-f（x）;f（x+T）=f（x）函數的奇偶性定義中涉及兩個方面關系，f（-x）與f（x），f（-x）與-f（x）。有理由問一下周期函數定義中若考慮兩方面關系又會怎樣呢？即有問題：f（x+T）=-f（x）時，f（x）的周期性怎樣呢？不難證明，此時2T為f（x）的周期;其次，再對比f（-x）.f（x）。把f（x+T）=f（x）與f（x+T）=-f（x）中f（x）用f（-x）代換，則又將有什么結論呢？同樣不難證明：若f（x+T）=f（-x），則f（x）為偶函數時，T為f（x）的周期;f（x）為奇函數時，2T為f（x）的周期.若f（x+T）=-f（-x），則f（x）為偶函數時，2T為f（x）的周期;f（x）為奇函數時，T為f（x）的周期。但事實上此時f（x）不一定是偶函數或奇函數，那么單從f（x+T）=f（-x）或f（x+T）=-f（-x）就不一定：若f（x+T）=f（-x）能推出f（x）的周期，可以證明：若f（x+T）=f（-x），則f（x+T）為偶函數;若f（x+T）=-f（-x），則f（x+T）為奇函數。

至此，小結前面結果即有下面結論。

定理1：若f（x+T）=f（x），則f（x）是周期函數，且T為f（x）的周期;若f（x+T）=-f（x），則f（x）是周期函數，且2T為f（x）的周期;定理2：若f（x+T）=f（-x），則f（x）為偶函數時，T為f（x）的周期;f（x）為奇函數時，2T為f（x）的周期.定理3：若f（x+T）=-f（-x），則f（x）為偶函數時，2T為f（x）的周期;f（x）為奇函數時，T為f（x）的周期。定理4：若f（x+T）=f（-x），則對定義域內任意x都成立;若f（x+T）=-f（-x），則f（x+T）為奇函數。（以上定理中函數定義域假定為R，同時等式對定義域內任意x都成立，且T≠0）

把定理2，3結合起來，即有f（x+T）為偶函數且f（x）為偶函數，則f（x）是周期函數，且T為f（x）的周期;f（x+T）為奇函數且f（x）為奇函數，則f（x）是周期函數，且2T為f（x）的周期;從而可得下列定理;定理5：給出三個判斷：（1）f（x+T）為偶函數。（2）f（x）為偶函數，（3）f（x）是周期函數，且T為f（x）的周期;則以其中任兩個為條件，第三個為結論可得三個真命題。定理6：給出三個判斷：（1） f（x+T）為奇函數。（2）f（x）為奇函數，（3）f（x）是周期函數，且2T為f（x）的周期;則以其中任兩個為條件，第三個為結論可得三個真命題。

（二）另一方面，從奇函數與偶函數函數圖象的對稱性方面聯想f（x+T）的奇偶性與f（x）函數圖象的對稱性又有：定理7：f（x+T）為偶函數。f（x）的圖象關于直線x=T對稱;f（x+ T） 為奇函數。f（x） 的圖象關于點（ T ，0）對稱。

至此，再結合對稱性與奇偶性的等價關系及定理4.5 又有定理8：給出三個判斷：（1） f（x） 圖象關于直線x=0 對稱。（2） f（x） 的圖象關于直線x= T對稱。（3）f（x） 是周期函數，且T為f（x）的周期;則以其中任兩個為條件，第三個為結論可得三個真命題。定理9：給出三個判斷：（1） f（x） 圖象關于點（0，0）對稱（2） f（x） 的圖象關于點（ T ，0） 對稱（3）f（x） 是周期函數，且2T為f（x）的周期;則以其中任兩個為條件，第三個為結論可得三個真命題。推論1： f（x） 為偶函數且圖象關于直線x= T 對稱，則f（x） 是周期函數，且T為f（x）的周期;推論2： f（x） 為奇函數且圖象關于直線x= T 對稱，則f（x） 是周期函數，且2T為f（x）的周期。

（三）最后考慮對稱的一般性

f（x） 的圖象關于直線x= a 對稱且關于直線x= b 對稱。同樣可得到。定理10：給出三個判斷：（1） f（x） 圖象關于直線x=a 對稱。（2） f（x） 的圖象關于直線x=b對稱。（3）f（x） 是周期函數，且2（a-b）為f（x）的周期;則以其中任兩個為條件，第三個為結論可得三個真命題。定理11：給出三個判斷：（1） f（x） 圖象關于點（a，0）對稱（2） f（x） 的圖象關于點（b，0） 對稱（3）f（x）是周期函數，且4（b-a）為f（x）的周期;則以其中任兩個為條件，第三個為結論可得三個真命題。

以上結論從一定成度上反映了函數的奇偶性，周期性與圖象的對稱性的內在聯系，利用這些結論不難解決一些相關問題。

總之，函數的奇偶性周期性及其圖象的有機結合在解一些綜合的函數問題是非常有用的，具備這些知識，在作題時會起到事半功倍的作用。

【參考文獻】

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[2]段小龍.多項式函數奇偶性定理的證明和應用[J].中學數學，2014年12期

[3]汪超月霞.運用對稱、平移作初等函數圖象[J].數學通報，2013年04期

（作者單位：江西省贛州市尋烏中學）