抽象函數(shù)問題的求解

陳興勇

摘 要：抽象函數(shù)通常是指只給出函數(shù)滿足某些條件（性質(zhì)），而沒有給出具體解析式的函數(shù)。抽象函數(shù)問題在近年的高考中也常常出現(xiàn)，它可以將函數(shù)、方程和不等式等內(nèi)容綜合于一題，也可以通過構(gòu)造一定的背景，定義一些新的知識，從而在“抽象”中具體考查考生的邏輯推理能力、抽象思維能力與創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：抽象函數(shù)；解題方法；解題規(guī)律

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號：1992-7711（2015）20-001-02

一、某些有原型的抽象函數(shù)

有些具體函數(shù)滿足抽象函數(shù)的性質(zhì)，我們把這些具體函數(shù)稱為抽象函數(shù)的原型函數(shù)，通過研究原型函數(shù)的性質(zhì)來研究抽象函數(shù)。

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明確了“抽象”與“具體”之間了聯(lián)系，我們就可以通觀全局，整體把握，局部入手。

【例1】對任意x，y∈R，函數(shù)f（x）滿足，f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<0，若f（1）=-2，求f（x）在[-3，4]的最值。

分析：由已知聯(lián)想到f（x）=kx，又f（1）=-2，所以f（1）=-2x是f（x）的一個(gè)特例，由f（x）=-2x是奇函數(shù)且是減函數(shù)可求出最值

解：令x=y=0，則，f（0）=2f（0），∴f（0）=0，以-x代y，

那么f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）在R上是奇函數(shù)

設(shè)x1，x2∈R，且x10，

從而f（x2）-f（x1）=f（x2）-f（-x1）=f（x2-x1）<0，f（x）在R上是遞減函數(shù)，所以在[-3，4]上，f（x）max=f（-3）=-f（3）=-[f（2）+f（1）]=-3f（1）=6，同理得f（x）min=-8.

評注：在解抽象函數(shù)問題時(shí)，對題設(shè)中的變量賦予特殊值是常用的方法，應(yīng)仔細(xì)體會。本例若改為填空題，從分析即知答案，可省卻許多運(yùn)算，但解答題則要有完整過程

【例2】已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，且f（x+y）=f（x）·f（y），若f（x）的反函數(shù)為g（x），比較g（mn）與g（m）+g（n）的大小。

分析：由題設(shè)可知原型函數(shù)為f（x）=ax，它的反函數(shù)為g（x）=logax，從而g（mn）=g（m）+g（n）.

解：設(shè)f（x）的值域?yàn)镈，對m，n∈D，在R中存在f（x1）=m，f（x2）=n，由反函數(shù)定義知x1=g（m），x2=g（n），所以mn=f（x1）f（x2）=f（x1+x2）.

因?yàn)閒（x）的反函數(shù)為g（x），所以g（mn）=x1+x2=g（m）+g（n）.

評注：由函數(shù)方程猜想原型函數(shù)，進(jìn)而猜想得到函數(shù)的周期是解本題的關(guān)鍵

解題規(guī)律：對一些性質(zhì)與一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)類似的函數(shù)，解答時(shí)可選一個(gè)符合條件的特殊函數(shù)（原型函數(shù)），根據(jù)這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，去研究該抽象函數(shù)的一般性質(zhì)是一種常見而有效的方法。

二、一些沒有原型函數(shù)的抽象函數(shù)

并非所有抽象函數(shù)問題都能找出原型函數(shù)。

評注：解答本例的關(guān)鍵是要充分利用已知條件，溝通已知與待求（證）式之間的聯(lián)系。

解題規(guī)律：對一些沒有原型函數(shù)的抽象函數(shù)，解題時(shí)只能根據(jù)題目的具體條件入手，利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解題。