均值不等式在幾何解題中的應用

陳文佳

【摘要】均值不等式是不等式內容的重要組成部分，在中學數學課程中也占有十分重要的地位。均值不等式常常用來求最值、求取值范圍、比較大小、證明不等式等。本文以均值不等式為研究對象，探討均值不等式在幾何解題中的具體應用。首先概述均值不等式的基本知識，在此基礎上綜合分析均值不等式在幾何解題中的實際應用，最后作出總結。

【關鍵詞】均值不等式 幾何解題 應用

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）10-0164-01

1.均值不等式的基本知識

均值不等式應用的先決條件是對己知條件或目標不等式的相關項或因式進行分拆分組，使之符合均值不等式的結構，而待定系數法則是幫助我們進行合理配湊的技巧之一，待定系數由配湊的目標確定，它常依賴于等號成立的條件、與相關常數的吻合以及分組后的局部不等式的構造[2]。也就是說，求待定系數的過程與應用均值不等式的過程自然地統一起來了。

常見的不等式公式，如a2+b≥2等等，其中不定值在什么情況下，以什么數值出現時，其公式會產生什么變化，這些都需要謹記。

應用最值定理必須注意：一正二頂三相等。“一正”即各項或各因式必須為正數；“二定”即必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結構，如果找不出“定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯；“三相”等要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。

2.均值不等式具體應用

2.1用于平面幾何

各省市的高考試題中對均值不等式的考查，均以最值問題為背景，利用均值不等式求最值問題是考生必須掌握的基本技能和重要的解題方法。

例1：設△ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB-bcosA=c。其中不等式成立的前提條件a，b為正數。

點評：這道題從表面上看是簡單的幾何模型問題，但是在求解面積時涉及到面積的最大值，進而將集合問題轉換為均值不等式應用問題。只有將求解中t放入根號中變為t2，出現均值不等式的定值才能順利實現解題的目標。

均值不等式是高中數學教學中重要內容，在數學解題及生活實際中有著廣泛的應用。但是在實際的解題過程中，很多學生在遇到看似復雜的問題時不能靈活的使用不等式來解決問題。本文通過對均值不等式在幾何解題中的應用研究，總結了均值不等式的基本知識，并在此基礎上分析均值不等式的具體應用，希望以此對中學數學中均值不等式的理解和應用有所幫助。

參考文獻：

[1]楊素云.高中生對均值不等式的理解[D].華東師范大學.2010.5.