高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想的互化

王永鋒

摘 要：函數(shù)與方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在高考中所占的比例一直很大，很多函數(shù)的問題用方程解決，很多方程的問題利用相應(yīng)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來解決，都可以達(dá)到化繁為簡的目的。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)與方程;相互轉(zhuǎn)化

函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間又有著密切的聯(lián)系。對于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時，就得到相應(yīng)的方程f（x）=0，也可以把函數(shù)y=f（x）看作二元方程f（x）-y=0，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根。方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。因此，方程思想與函數(shù)思想可以相互轉(zhuǎn)化，以下結(jié)合具體例題談?wù)劚救藢@一部分內(nèi)容的理解。

一、函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題求解

例1.如果函數(shù)y=的最大值是4，最小值是-1，求實(shí)數(shù)a，b的值。

解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽，由函數(shù)的最大值為4可知，存在實(shí)數(shù)x使得=4，即方程4x2-ax+4-b=0有實(shí)數(shù)根，所以？駐1=a2-16（4-b）≥0，又因?yàn)?是函數(shù)的最大值，所以對任意的x，≤4恒成立，即4x2-ax+4-b≥0恒成立，所以？駐2=a2-16（4-b）≥0，所以 a2-16（4-b）=0①。由函數(shù)的最小值是-1可知，存在實(shí)數(shù)x使得=-1，即方程x2+ax+b+1=0有實(shí)根，所以？駐2=a2-4（b+1）≥0，又因?yàn)?1是函數(shù)的最小值，所以對任意的x，≥-1恒成立，即x2+ax+b+1≥0恒成立，所以？駐2=a2-4（b+1）≤0，所以a2-4（b+1）=0②，由①②解得a=4b=3或a=-4b=3。

二、方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解

例2.若a>2，求方程x3-ax2+1=0在（0，2）的實(shí)根個數(shù)。

解析：設(shè)f（x）=x3-ax2+1，則f'（x）=x2-2ax=x（x-2a），∵02，

∴f'（x）<0，∴f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，又∵f（0）=1>0，f（2）=-4a+1=-4a<0，所以f（x）在（0，2）上只有一個零點(diǎn)。所以方程x3-ax2+1=0在（0，2）只有一個實(shí)根。

評析：本題是一道求方程根的問題，我們構(gòu)造函數(shù)，考慮這個函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的方法判斷這個函數(shù)在（0，2）上的單調(diào)性，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，便可得出結(jié)論。

三、方程思想與函數(shù)思想綜合應(yīng)用

例3.若拋物線y=-2x2+kx-3和端點(diǎn)分別為A（0，4），B（4，0）的線段AB有兩個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解析：線段AB的方程為+=1（0≤x≤4），即y=4-x（0≤x≤4）

將上式代入y=-2x2+kx-3得2x2-（k+1）x+7=0（0≤x≤4）

令f（x）=2x2-（k+1）x+7，因?yàn)閽佄锞€與線段AB有兩個不同的交點(diǎn)。

所以方程2x2-（k+1）x+7=0在[0，4]上有兩個不等的實(shí)數(shù)根。

所以應(yīng)該有？駐=（k+1）2-4×2×7>00<<4f（0）=7>0f（4）=32-4（k+1）+7≥0

解得2-1

故k的取值范圍是（2-1，]。

評析：本題先將函數(shù)圖象有交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程有解的問題，再將方程有解的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，結(jié)合圖象，從判別式、對稱軸、函數(shù)值的大小等方面考慮使結(jié)論成立的所有約束條件，建立不等式再求解得到所求范圍。本題在求解過程中遵循了“函數(shù)→方程→函數(shù)”的轉(zhuǎn)化過程，由此可見，方程與函數(shù)聯(lián)系緊密，做題時注意兩者的靈活轉(zhuǎn)化。

總之，函數(shù)與方程的思想是重要的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用非常廣泛，主要依據(jù)題意，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)或建立相應(yīng)的方程來解決問題，遇到題目時，注意轉(zhuǎn)化角度，改變思維，可以使復(fù)雜問題簡單化。

參考文獻(xiàn)：

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？誗編輯 魯翠紅