巧用二次函數圖象及性質解相關高考試題

劉海青

摘 要：函數是高中數學的靈魂，尤其是二次函數貫于穿整個高中數學，是每年必考的內容。通過它可以研究函數的很多性質，并且與不等式、數列等有著廣泛的聯系。

關鍵詞：二次函數;圖象;性質;應用;解題規律

函數是高中數學的靈魂，尤其是二次函數貫穿于整個高中數學，是高考必考的內容。通過它可以研究函數的很多性質，并且與不等式、數列等有著廣泛的聯系。本文主要通過二次函數在高中數學中的應用進行歸類，以揭示二次函數的解題規律。

一、最值問題

一般先用配方法化為y=a（x-m）2+n的形式，得頂點（m，n）和對稱軸x=m，結合二次函數圖象求解，常見的有三種類型：

（1）頂點固定，區間也固定;

（2）即頂點為動點，區間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區間之內，何時在區間之外;

（3）頂點固定，區間變動，這時要討論區間中的參數。

例：函數f（x）=x2+2mx+m2-m-，當x∈（0，+∞）時，恒有f（x）>0，求m的取值范圍。

思路點撥：此題為動軸定區間問題，需對對稱軸進行討論。

解：f（x）=（x+m）2-m-

當-m≤0即m≥0時，f（0）≥0？圯m2-m-≥0，∴m≥;

當-m>0即m<0時，-m->0，∴m<-3.

綜上得：m<-3或m≥.

點評：分類討論要做到不漏掉任何情況，尤其是端點處的數值不可忽視，最后結果要取并集。

二、一元二次方程ax2+bx+c=0的實根分布問題

在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數圖象數形結合來解，一般從二次函數的四個要素來考慮：開口;區間端點函數值符號;對稱軸;Δ。

例：已知a是實數，函數f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函數y=f（x）在區間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍。

解析1：函數y=f（x）在區間[-1，1]上有零點，即方程f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有解。

a=0時，不符合題意，所以a≠0，方程f（x）=0在[-1，1]上有解？圳f（-1）·f（1）≤0或

af（-1）≥0af（1）≥0Δ=4+8a（3+a）≥0？圳1≤a≤5或a≤或a≥5？圳 a≤或a≥1-∈[-1，1]

點評：通過數形結合來解決一元二次方程根的分布問題。

三、在不等式方面的應用

1.一元二次不等式恒成立問題

（1）在R上恒成立——利用開口及Δ;

（2）在某區間上恒成立——變量分離或畫圖利用四要素或轉化二次函數最值。

例：（2009年江西卷文17）設函數f（x）=x3-x2+6x-a.

對于任意實數x，f ′（x）≥m恒成立，求m的最大值。（節選）

解析：f ′（x）=3x2-9x+6，∵對？坌x∈R，f ′（x）≥m，即3x2-9x+（6-m）≥0在x∈R上恒成立，∴Δ=81-12（6-m）≤0，得m≤-，即m的最大值為-.

例：（2009年全國卷II文21）設函數f（x）=x3-（1+a）x2+4ax+24a，其中常數a>1，若當x≥0時，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍。

分析：利用導數求函數的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出a的范圍。

解：當x≥0時，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值。

f（2a）=（2a）3-（1+a）（2a）2+4a·2a+24a=-a3+4a2+24a;f（0）=24a，則由題意得a>1f（2a）>0f（0）>0，解得1

四、在數列方面的應用

利用二次函數的性質來解答等差數列的前n項和有關最值問題比用其他知識簡單。

例：（2010新課標17）設等差數列an滿足a3=5，a10=-9。

（1）求an的通項公式;（2）求an的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值。

解：（1）（略）;（2）Sn=na1+d=10n-n2=-（n-5）2+25，所以n=5時，Sn取得最大值。

二次函數有豐富的內涵與外延。作為最基本的冪函數，以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，還與不等式、數列等有著廣泛的聯系。因此，二次函數可以稱為高中數學的靈魂。

？誗編輯 王夢玉