淺議以二次函數為背景與四邊形相結合的存在性問題解題策略

袁熹旸

摘 要：二次函數是初中數學的重要內容，是數與形結合的典范，特別是以二次函數為背景與四邊形相結合的存在性問題數學題，因其知識面廣，技巧性強，區分度較高，有利于優秀人才的選拔，因此，備受中考命題組的青睞。

關鍵詞：二次函數;特殊四邊形;數學思想

以二次函數為背景與四邊形相結合的存在性問題，對知識的遷移能力、靈活的運用能力和分析能力要求較高，因此，近幾年成為全國各省、市中考壓軸題.

一、與平行四邊形相結合的存在性問題

例1.（2013年臨沂）如圖1，拋物線經過A（-1，0），B（5，0），C（0，-）三點.

（1）求拋物線的解析式;

（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標;

（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以 A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標;若不存在，請說明理由.

解：（1）y=x2-2x-.

（2）點P的坐標是（2，-）.

（3）存在.

①當存在的點N在x軸的下方時，如圖2所示，

∵四邊形ACNM是平行四邊形，∴CN∥x軸，

∴點C與點N關于對稱軸x=2對稱.

∵C點的坐標為（0，-），

∴點N的坐標為（4，-）.

②當存在的點N1在x軸上方時，如圖2所示，作N1H⊥x軸于點H

∵四邊形ACM1N1是平行四邊形，

∴AC=M1N1，∠N1M1H=∠CAO

∴Rt△CAO≌Rt△N1M1H，∴N1H=OC

∵點C的坐標為（0，-），∴N1H=，即N1點的縱坐標為，

∴x2-2x-=，解得x1=2+，x2=2-.

∴點N1的坐標為（2-，）和（2+，）.

綜上所述，滿足條件的點N共有三個，分別為（4，-），

（2+，），（2-，）.

二、與矩形相結合的存在性問題

例2.（2014年浙江湖州）如圖3，已知在平面直角坐標系xoy中，O是坐標原點，拋物線y=-x2+bx+c（c>0）的頂點為D，與y軸的交點為C，過點C作CA∥x軸交拋物線于點A，在AC延長線上取點B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD.

（1）若點A的坐標是（-4，4），

①求b，c的值;

②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由;

（2）是否存在這樣的點A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點A的坐標;若不存在，請說明理由.

解：（1）①b=-4，c=4.

②四邊形AOBD是平行四邊形;理由如下：

由①得拋物線的解析式為y=-x2-4x+4，∴頂點D的坐標為（-2，8）

過D點作DE⊥AB于點E，則ED=OC=4，AE=2

∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC.∵AC∥x軸，∴∠AED=∠BCO=90°

∴△AED≌△BCO，∴AD=OB.∠DAE=∠CBO，∴AD∥OB

∴四邊形AOBD是平行四邊形.

（2）存在，點A的坐標可以是（-2，2）或（2，2）

要使四邊形AOBD是矩形;則需∠AOB=∠BCO=90°

∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=

又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC

∴在Rt△OBC中，根據勾股定理可得：OC=BC，AC=OC

∵點是拋物線與y軸交點，∴OC=c

∴A點坐標為（c，c），∴頂點橫坐標=c，b=c

∵將A點代入可得c=-（c）2+c·c+c

∴橫坐標為±c，縱坐標為c即可，令c=2

∴A點坐標可以為（2，2）或者（-2，2）.

三、與菱形相結合的存在性問題

例3.（2013年棗莊卷）如圖4，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.

（1）求這個二次函數的表達式.

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP1C，那么是否存在點P，使四邊形POP1C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標;若不存在，請說明理由.

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

解：（1）y=x2-2x-3.

（2）存在點P，使四邊形POP1C為菱形;

如圖5，設P點坐標為（x，x2-2x-3），PP1交CO于E點.

若四邊形POP1C是菱形，則有PC=PO;

連接PP1，則PE⊥CO于E.

∴OE=EC=，

∴y=-

∴x2-2x-3=-

解得x1=，x2=（不合題意，舍去）

∴P點的坐標為（，-）

（3）如圖6，過點P做y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，x2-2x-3），易得直線BC的解析式為y=x-3，則 點Q的坐標為（x，x-3）;

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=AB·OC+PQ·BF+PQ·OF

=×4×3+（-x2+3x）×3

=-（x-）2+

當x=時，四邊形ABPC的面積最大，此時P點的坐標為（，-），四邊形ABPC面積的最大值為.

參考文獻：

樊龍.一道二次函數的動點問題[J].中學生數學，2014（4）.

？誗編輯 楊兆東