三角函數的圖象與性質

崔興清

摘 要：三角函數一直是高中數學的重點，也是一個難點，許多學生學不好數學，覺得三角函數方面的知識太難理解，其實只要學生認真學習，三角函數解題還是有規律可循的。從三角函數的圖象和性質出發探討如何實現教學的有效性。

關鍵詞：三角函數;知識點;教學策略

數學一直都被認為是一門比較抽象的科目，但其實，只要學生結合圖象和性質，加上老師的有效教學方式，學生掌握起來也就沒那么難了。本文就以三角函數為例，根據知識點解析教師如何進行教學。

一、三角函數的主要知識點

1.三角函數的單調性與值域

求三角函數的值域，首先必須要清楚其單調性以及在定義域的范圍內。很多學生都會忽略定義域，這是不能小視的，因為定義域不同，值域也可能是不同的。教師在教這方面知識的時候要重點提醒學生千萬不能忘記值域范圍內的定義域。

而最好解決這個問題的辦法就是數形結合，雖然并不是適用于所有題型，但是一般都比較適用，而且圖形是最直觀的東西，出錯率會沒那么高。

例：求函數y=的值域。

解法1：數形結合法：求原函數的值域等價于求單位圓上的點P（cosx，sinx）與定點Q（2，0）所確定的直線斜率的范圍。作出如圖1的圖象，當過Q點的直線與單位圓相切時得斜率便是函數y=的最值，由幾何知識易求得過Q的兩切線的斜率分別為-、。結合圖形可知，此函數的值域是[-、]。

圖1

值域就是在定義域內求最大值或者最小值，解題思路就是：首先，明確定義域;然后，求該函數在定義域內的單調性，根據其單調性找出最值。

2.三角函數的奇偶性與圖象的對稱性

三角函數是對稱的圖形，我們根據其對稱性，可以求其對稱軸、對稱坐標等。

例：函數y=3sin（2x+）圖象的一條對稱軸方程是（ ?）

A.x=0 B.x= C.x=- D.x=

解：由性質1知，令3sin（2x+）=±1，得2x+=kπ+（k∈Z），即x=π+（k∈Z），取k=1時，x=，故選B。

例：求函數y=3tan（2x+）的對稱中心的坐標。

解：由性質3知，令tan（2x+）=0，得2x+=kπ（k∈Z），即x=π-（k∈Z），所以函數y=3tan（2x+）的圖象的對稱中心是（π-，0）（k∈Z）。

3.三角函數的周期性與圖象的變換

三角函數是具有周期性的，圖象的變換與周期性密切相關。

例：已知函數f（x）=sin（x-）（x∈R），下面結論錯誤的是（ ?）

A.函數f（x）的最小正周期為2π

B.函數f（x）在區間[0，]上是增函數

C.函數f（x）的圖象關于直線x=0對稱

D.函數f（x）是奇函數

分析：先利用三角函數的誘導公式化簡f（x），利用三角函數的周期公式判斷出A正確;利用余弦函數圖象判斷出B錯誤;利用三角函數的奇偶性判斷出C，D正確。

二、教學策略

1.以學生為主體

學生是學習的主體，老師要多傾聽學生的意見，了解關于三角函數這個知識點，學生的薄弱環節是什么，然后一一擊破。因為學好三角函數最重要的是理解，對性質的深刻理解，所有的題目都是萬變不離其宗的，只要對性質有深刻的了解，解答題目也就輕松多了，不論是求值域、對稱軸，還是周期，只要把握奇函數和偶函數的性質，知道其變換方式，就能很好地答題。但是，很多老師都不了解學生究竟是哪里不明白，所以就要給學生表達意見的機會，以學生為中心，畢竟數學是不能靠死記硬背達到效果的。

2.聯想法

奇函數和偶函數的聯系是密切的，學生要對圖象有一個基本的了解和記憶，因為這樣才能更好地答題，所以，教師在教學中，可以由奇函數或者偶函數為切入點，根據兩者的聯系，再講另一個，這樣，學生能比較好地掌握函數的圖象和性質，當遺忘了另一個性質的時候，還能很好地根據記住的這個聯想起來。

如下圖（圖3，圖4）：

圖3

y=sinx向左移動π，得到：

圖4

聯系兩者，加深學生的印象。

3.數圖結合

數圖結合是數學解答中常用的方法，因為圖片看起來更加具體，沒有那么抽象，可以說是化抽象為具體，學生答題時，可以充分利用這種方法。但是，教師首先要重視數圖結合的方法，在平時的三角函數教學中，在知識點的講解中，要重視這個方法，給學生樹立一個參照的對象，讓學生在答題時，一看到某種題型，就想起這種方法。

例：已知函數f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R.

（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期;

（Ⅱ）求函數f（x）在區間[，]上的最小值和最大值。

作函數f（x）=sin（2x-）在長度為一個周期的區間[，]上的圖象如下（圖5）：

圖5

由圖象得函數f（x）在區間[，]上的最大值為，最小值為f（）=-1.

三角函數的知識點是很明確的，所以教師要根據知識點的特性，結合相應的教學方法，讓學生更好地掌握其圖象和性質。

參考文獻：

[1]翟陽琴.三角函數教學中學習能力培養的策略[J].文理導航：中旬，2013（8）.

[2]范正君.在三角函數學習中提高能力[J].數理化學習：高中版，2013（8）.

？誗編輯 王夢玉