例談不等式證明的若干方法

徐廣俊

數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。數學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規律，并對現代社會中大量紛繁復雜的信息作出恰當的選擇與判斷。在高中數學教學中，作為不等式知識的重要內容，不等式的證明是教學中的重點和難點所在。本文總結了不等式證明的方法，并舉例分析了不等式證明中常用的比較法、分析法、綜合法、數學歸納法、反證法、放縮法、換元法、判別式法、函數法、幾何法等方法的運用。

不等式證明是高中數學的重點

在高中數學的學習過程中，不等式證明是一個非常重要的內容。作為高中數學的一個難點，不等式的證明不僅題型多變，而且無固定的規律可循，需要依據題目和特征不等式的結構特點，采用多種方法綜合運用。因此，引導學生熟練掌握幾種不等式證明的主要方法，并靈活運用，對不等式證明的學習有著非常重要的意義。

常用證法及舉例

比較法 比較法是不等式證明最基本的證明方法之一。比較法，有作差法和作商法兩種。

例1.若a、b均為正數，試證明

證明：，式①；

同理，式②；

，式③。

①+②+③得，原題得證。

例2.設a>b且均為正數，試證明： 。

證明 ∵a>b>0，則有，a-b>0。

∴，即。

評析：在比較兩個不等式a和b的大小時，可借助a-b或的大小來判斷。步驟一般為：作差（商）——變形——判斷。需要提醒的是在使用作商法時，要注意分母的正、負號，防止弄錯不等式的方向。

綜合法 綜合法是運用已知的定義、定理和基本不等式的性質，從已知條件推出所要證明的結論的方法。

例3.a，b，c∈R+，abc=1，且互不相容，求證：

證明：

所以

評析：綜合法是由題設條件出發，由因導果，講究對不等式基本性質和重要不等式及其變形的熟練使用。

反證法 但復雜的不等式或特殊不等式，直接證明無法得證時，可以采用反證法進行間接證明。其思路是“假設——矛盾——肯定”，從與結論相反的假設出發，推出矛盾的過程。

例4.若p>0，q>0，p3+q3=2，求證：p+q≤2.

證明：假設p+q>2，則（p+q）3=p3+q3+3pq（p+q）>8，

由p3+q3=2，得pq（p+q）>2=p3+q3=（p+q）（p2-pq+q2）。

∵p>0，q>0，∴p+q>0，不等式兩邊同時約去（p+q），

得pq>p2-pq+q2，即（p-q）2<0，矛盾，原題得證。

例5.已知a>b，a，b∈R+，n∈Z且有n>1，求證：。

證明：假設，與題意矛盾，則有。

評析：反證法的思路是“執果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。每一步推理都是為了尋求上一步成立的充分條件。

換元法 對一些結構比較復雜，變量較多的不等式證明，引入一個或多個變量進行代換，以簡化原有的結構，實現某種轉化。

例6.已知x，y∈R且x2+y2≤1.求證│x2+2xy-y2│≤.

證明：設

則

評析：在不等式證明過程中，通過變量代換，選擇適當的變量未知數巧妙代替，可以有效簡化證明過程。其中的三角代換法和增量換元法，前者將代數問題轉化為三角問題。如x2+y2=1，設；再如，對不等式│x│≤1，設。后者在對稱式和給定字母順序的不等式，通過換元達到減元，化繁為簡。

結束語

不等式的證法靈活多變，因題而異。但萬變不離其宗，大都需從應用定義及基本性質入手，尋求解決之道。在日常教學中，高中數學教師還是要通過大量的練習，幫助學生掌握常見的方法的運用。希望本文在這方面能起到拋磚引玉的作用。

參考文獻

[1]匡繼昌.常用不等式[M].濟南：山東科技出版社，2004

[2]葉慧萍.反思性教學設計-不等式證明綜合法[J].數學教學研究，2005（10）

（作者單位：江蘇省儀征中學）