“四招”突破抽象函數問題

唐浩德

【關鍵詞】 數學教學;函數問題;抽象;求解

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2015）16—0119—01

抽象函數是指沒有給出函數的具體解析式，只給出一些體現函數特征的式子的一類函數.抽象函數問題的解決往往要從函數的奇偶性、單調性、周期性以及函數的圖象入手.下面，從四個不同的方面來探尋一些解題規律.

一、利用賦值法巧求抽象函數的函數值

賦值法是求抽象函數值的重要方法.通過觀察與分析抽象數問題中已知與未知的關系尋找有用的取值，挖掘出函數的性質，特別是利用函數的奇偶性與周期性來轉化解答，有時還需多次賦值.

例1 定義在R上的單調函數f（x）滿足：存在實數x0使得對于任意實數x1、x2總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立.1.求f（1）+f（0）的值;2.求x0的值.

解：1. 因為對于任意實數x1、x2總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立，令x1=1、x2=0，有f（x0）= f（x0）+f（1）+f（0），∴f（1）+f（0）=0.

解：2. 令x1=0、x2=0，有f（0）=f（x0）+f（0）+f（0），即f（0）=f（x0）+2f（0），∴f（0）=f（x0）.∴f（x0）=-f（0）.又∵f（1）+f（0）=0，

∴f（0）=-f（1），∴f（1）=-f（0），∴f（x0）=f（1）.又∵f（x）為定義在R上的單調函數，∴x0=1.

二、利用函數圖像和奇偶性定義判斷抽象函數的奇偶性

抽象函數的奇偶性是要判斷f（x）與f（-x）之間的關系，從而得出圖象關于原點或y軸的對稱，再結合函數的圖象作進一步判斷;在利用奇偶性的定義進行判斷時，若等式中還有其他的量未解決，就需要特殊賦值加以解決.

例2 已知函數f（x）對x、y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（0）≠0，求證：f（x）是偶函數.

解：∵對任意x、y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）

令x=0，y=0，有f（0）+f（0）=2f（0）f（0），∴2f（0）=2f（0）2，∴f（0）=f（0）2，∴f（0）=0或f（0）=1.又∵f（0）≠0，∴f（0）=1.

令x=0，有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），∴f（y）=f（-y），又∵y∈R，∴f（x）為偶函數.

三、利用函數單調性求解或證明抽象不等式

抽象函數的單調性，需要對所含的參數進行分類討論，或根據已知條件確定參數的范圍，最后再根據單調性求解或證明抽象不等式，同時要注意定義域的限制.

例3 設函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且滿足f（xy）=f（x）+f（y）.若f（3）=1，且f（a）>f（a-1）+2，求實數a的范圍.

解：∵f（xy）=f（x）+f（y）且f（3）= 1，∴2=2f（3）=f（3）+f（3）= f（3×3）=f（9），又∵f（a）>f（a-1）+2，∴f（a）>f（a-1）+f（9）=f[9（a-1）]，∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，從而得不等式組：

a>0 ? ? ? ? ? ? ①

9（a-1） >0 ? ? ? ②

a>9（a-1） ? ? ? ?③

四、利用函數模型巧解抽象函數問題

抽象函數問題的設計一般都有一個基本函數作為模型，若能分析出這個函數模型，結合其性質來思考解題方法，那么這類問題就能簡單解決.

例4 已知函數f（x）對于任意實數x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x>0時，有f（x）>0，f（-1）=-2.求f（x）在[-2，1]上的值域.

解：∵對于任意實數x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），

令x=0，y=0有f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.

再令y=-x有f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數.

設x10.又∵當x>0時有f（x）>0，f（0）=0，∴f（x）>f（0），∴f（x1-x2）>0，∴f（x）-f（x）>0，∴f（x）>f（x）.∴f（x）為R的增函數.

又∵f（-2）=f（-1-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=-4，f（1）=-f（-1）=2，

∴當x∈[-2，1]時，f（x）∈[-4，2].

編輯：謝穎麗