函數思想在高中代數教學中的應用研究

姜蘇峻

摘 要： 函數思想貫穿于高中的各個章節，是變量數學的重要內容。變量與變量之間的對應關系、映射關系，它用聯系和運動、變化的觀點描述量與量之間的依存關系。

關鍵詞： 方程思想 函數思想 高中數學

縱觀整個高中數學教材，函數思想始終貫穿每個章節，是變量數學中最重要的內容，函數思想也是數學思想中的很重要的一種，它以函數知識為基礎，具體地用變化的觀點分析和研究數學對象間的數量關系，更廣闊地拓展了有關函數的問題的應用研究，同時也使數學活動不再單調，解題過程多種多樣，強化了數學思維，提高了數學意識，給數學解題帶來一股很強的創新之風。因此，函數問題在歷年高考中所占的比重始終較大，而且題型也越來越新穎。

函數思想在高考中的應用主要是函數的概念，其中，各種函數的性質及圖像的應用是最基礎的內容，它包括顯化、轉換、構造、建立函數關系解題四個方面。具體而言，利用問題中的數量關系，用數學語言闡述已知條件，進而創造出數學模型。也就是用運動和變化的觀點，研究和分析已知題中的數量關系，通過構造或建立函數關系式，最后研究函數的圖像和性質徹底將問題轉化，達到解決問題的目的。這與方程思想有著明顯的不同，后者必須先將問題中的各個變量之間的等量關系弄清楚，然后利用這個等量關系列出方程，最后再解方程或方程組達到最終目的。方程思想和函數思想聯系非常緊密，交叉互換情況比比皆是。

一、二次函數問題

一般的，方程中只涉及一元二次方程的解法通常比較簡單，只要按照一般解答題的方式就可以解決。但是有很多問題是將一元二次方程與二次函數相結合，這類問題通常不會在小題中出現，都會位于試卷的后面，屬于綜合性的大題。解決這類問題，常常會將所有有關方程和函數的所有內容涵蓋其中，比如根的判別式，與x軸是否有交點，判斷某些不等式的成立條件，等等，這類問題通常都比較復雜。

二、三角函數問題

從近年的高考試卷中可以看出，有關三角函數的試題一般來說不是很難，題型也都變化不大，相對來說考點基本上都大同小異，沒有什么特別。因此，學生在學習這部分內容時重視的內容也會比較集中，三角的基礎性知識是根本，例如有關三角函數的圖像和性質，或者是它的周期性和單調性，當然課本上有些已經簡化了的奇偶性和對稱性等方面也需要理解和掌握。高考中三角函數部分基本上以求值、證明和最值問題這三個方面作為重點掌握題型。這就需要同學們對相關內容的掌握，特別是熟練運用三角函數部分的幾個誘導公式。

三、數列問題

近年來，數列問題在高考中屢見不鮮，因此這部分內容不僅是高中數學的重點，而且是要求同學們熟練運用和掌握的部分。在學習中我們不僅要對等差數列和等比數列的基本性質熟記于心，而且要對兩種數列的性質和特點進行徹底深入的研究，特別是運用某些遞推關系求數列的通項這一類問題，就含有一些高等數學的思想，其中用特征方程求數列通項就是典型內容之一。

四、等式、不等式和最值問題

方程思想是代數的重要內容，也是重要的數學方法，很多數學問題都可以轉化為方程問題來解決。但是方程思想的運用，并非僅限于列方程或方程組求解，有關方程的知識在各類數學問題中都有著廣泛的應用。其中一元二次方程根的判別式在這部分內容中運用得特別廣泛，而且經常與函數相聯系，由于它有大于零、等于零、小于零的三種情況，分別決定了方程兩實根的相異、相同或不存在，這就使我們能運用這一知識解決一些與不等式相關的問題，如不等式、字母或式子的取值范圍、函數的值域、變量的最大值或最小值，一些恒等式的證明等。在運用這一知識解證不等關系的問題時，應先根據題意，建立一元二次方程，然后再運用根的判別式解答。

運用一元二次方程的知識解決不等關系問題時，一般分成兩步：第一步，建立一元二次方程——從相等關系入手，建立方程的方法很多，可以將已知等式中的某一字母作為主元，把原式化成關于該主元的一元二次方程；可以將條件給出的代數式設為某一字母，構成等式，再轉化成一元二次方程；可以由已知中所含的兩數和、兩數積，根據一元二次方程根與系數的關系構造方程；也可以根據題意或幾何圖形，運用相關知識列出方程等，方法因題而異。第二步，由方程的根為實數，確定判別式為正或者負，轉化為不等關系，再由此推出結果。

五、不定積分問題

一般來說，解不定積分的常規方法只有三種，即直接積分法、換元法和分部積分法。這三種方法基本上能夠解決大部分有關不定積分的問題，因此解決這類問題時通常用這三個原則。解不定積分題的技巧性和靈活性較強，公式也多種復雜，因此求解積分方法種類繁多，但各種方法都是在這三種常規方法的基礎之上進行改進和拓展而得，而且三種方法都滲透了方程思想的應用。因此，熟練掌握常規的三種方法是求解不定積分的基礎。

求解不定積分時最常用的是直接法，這種方法要求同學們熟記積分公式，進而可以對公式進行靈活、變換，達到化簡的目的，化歸思想在這部分得到了充分運用。反過來說，對化歸思想方法的應用掌握之余，溫故積分知識中的基本公式也很重要。

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