拋物線圖像和性質的教學思考

彭艷亮

摘 要： 解析幾何是17世紀數學發展的重要成果之一，其本質是用代數的方法研究圖形的幾何性質，體現數形結合的思想。本文論述了高中階段學拋物線的主要內容，對學生在學習拋物線圖像和性質時存在的問題進行了認真的分析，提出了拋物線圖像和性質的教學辦法，以供參考。

關鍵詞： 高中數學 解析幾何 教學方法

解析幾何是利用代數方法研究幾何圖形性質的一門學科，它包括平面解析幾何和空間解析幾何兩部分。拋物線作為解析幾何的一部，其思想代表研究曲線和曲面的一般方法和手段，即用代數為工具解決幾何問題。

1.高中階段學拋物線的主要內容

1.1拋物線中的“坐標法”

“坐標法”是拋物線思想的主要組成部分，因為建立了坐標系，就能把拋物線的性質用代數表示，從而把幾何問題轉化為代數問題解決。適當地選擇坐標系可以大大簡化對拋物線性質的研究，但拋物線的性質不會隨著坐標系的變化而改變。我們要研究的是那些和坐標系的選擇無關的性質；或者說建立坐標系正是為了擺脫拋物線對坐標系的依賴，這在代數上表現為在某個線性變換群下的不變量和不變關系。

1.2拋物線中的運算思想

拋物線的運算，往往有較強的綜合性，涉及相應的代數方程知識（包括消元思想、整體代換、函數思想、同解原理、韋達定理、方程組的解、構造不等式、參變量代換、求解不等式）等內容，對計算能力要求較高。在解決拋物線問題時，要注重“數”與“形”的統一，在計算時，要結合拋物線圖像自身的特點，充分挖掘拋物線的幾何結論，這是解決問題的突破口和簡化解題過程的有效方法。拋物線獨有的特點，對培養運算能力能起到獨特的作用。

1.3拋物線的解題步驟

用解析幾何的思想方法研究拋物線問題，思維過程可以表示為以下步驟：第一，用代數的語言來描述拋物線圖形，例如“點”可以用“數對”表示，“曲線”可以用方程表示等；第二，把幾何問題轉化為代數問題，例如，拋物線圖形中“一條直線與拋物線沒有交點”可以轉化為“兩直線方程組成的方程組無解”等；第三，實施代數運算，求解代數問題；第四，將代數解轉化為幾何結論。

2.學生在學習拋物線圖像和性質時存在的問題

2.1學生的逆向思維能力不強

在學生探究拋物線的圖像和性質的過程中，要將平面圖形順利的轉化為題中的信息，一定要依靠較強的逆向思維能力，這對于剛剛接觸到解析幾何的學生來說，是不具備的，因此這一點就會成為教師提高學生分析拋物線圖像和性質抽象能力的阻礙。

2.2數形結合能力不強

在做題過程中，學生不能依照題中的條件畫出能夠幫助解題的圖形，即便反復讀題，一般也不能找到問題的切入點，特別在證明與圖形有關的定理及問答題時就會感到非常困難。

3.拋物線圖像和性質的教學辦法

3.1貼近生活進行教學

在現實生活中有許多的拋物線的模型，教師在講課過程中要注意與學生的生活聯系起來。例如在教師講述時首先問學生有多少男生喜歡打籃球，在他們打籃球或觀看籃球比賽時，是否注意投籃時球的運行路線？我們把這種形如物體拋出后所經過的路線，叫拋物線。拋物線在生活中無處不在，比如噴泉水流經過的路線，搖動的大繩在空中靜態時所呈現的圖形等。它們與函數有聯系嗎？首先讓學生在生活中結識拋物線，然后讓學生動手在同一坐標系中作二次函數y=x■和y=-x■的圖像，從而從感性上結識拋物線，再后對兩個特殊的二次函數的圖像和性質進行歸納和總結.再由特殊到一般總結y=ax■的圖像和性質，從而從理性上再次結識拋物線。最后針對鞏固二次函數的圖像和性質進行了鞏固練習。教師將畫出的拋物線圖像通過利投影儀進行展評，這樣能夠方便學生理解和接受，達到很好的效果。

3.2讓學生進行自主的探索

在學習拋物線的圖像和性質時，需要學生動手操作較多，因此親身體驗也比較多。教師應該注意在學生動手操作的時候應讓學生之間進行相互的交流合作和自主探索，這樣就可以使有關圖形及數學活動的經驗得到有效積累。例如，在教師講述正方體表面展開的過程中，首先應讓學生對正方體進行仔細的觀察，之后再在腦海中繪制出它的展開圖，然后動手操作，這樣可以考查學生的圖形空間想象力。

例如在課堂上教師讓學生三角板和直尺各一個，細繩一根。讓三角板較短的直角邊完全靠在直尺邊沿上。設直角頂點為C。將細繩的一端固定在三角板的頂點A處。取繩長等于AC。將繩的另一端固定在點F處。用鉛筆尖將繩拉緊，并且筆尖始終靠在三角板的AC邊上。上下移動三角板。這時讓同學觀察：筆尖處動點M形成的軌跡是什么曲線？點M滿足的幾何條件是什么？讓兩名同學到講臺前在黑板上演示畫拋物線的過程，其他同學在前后桌四人一組親自動手實驗。通過上述實驗，教師引導學生對拋物線的直觀形象進行觀察和類比，再結合拋物線本來的定義，讓同學們用自己的話描述出這條軌跡。等同學們完成之后在讓他們自己總結拋物線的定義，即是在平面內，與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點，直線l叫拋物線的準線。這樣一方面讓學生體驗成功的喜悅，另一方面讓學生在動手的實踐活動中發現以下問題，從而體驗數學知識的形成過程。可以讓學生對橢圓的概念有清晰準確的認識和全面深刻的理解，不僅使他們知其然，更知其所以然，具體形象地學數學。

3.3化難為易，輕松學習解析幾何

由于拋物線的特點，許多學生認為其單調、高深，自認為不是學數學的料，產生畏難的心理甚至產生厭學情緒。針對這一現象，教師應該對癥下藥，一個重要的途徑是不讓學生感到拋物線太抽象、太難學。我們都有這樣的體會：當我們對某種東西陌生時就會覺得很難，相反，熟悉的就會覺得比較簡單。因此，我們在教給學生新知識時，如果先仔細分析一下學生頭腦中與新知識相關聯的熟悉事物是什么，然后再從他們熟悉的事物出發，利用知識的遷移讓他們進入一個新的領域，那么學生就會比較容易接受和掌握新的內容。當然，到底用那些熟悉的東西講拋物線的圖形與性質，需要教師自己不斷地學習、積累和探索。如在講解拋物線時，因為拋物線與雙曲線、橢圓同屬于圓錐曲線，它們的研究方法是一樣的，幾何性質都是從范圍、對稱性、頂點、焦點角度研究的。然后圍繞著漸近線的各種題型展開討論，這樣就會讓學生感到容易接受取得較好的教學效果。

3.4數形結合，直觀的學習拋物線

在拋物線教學中，數與形是不可分離地結合在一起的，這是直觀與抽象、感知與思維的結合。這部分內容，既需要從“數”的角度去理解，又需要從“形”的角度去理解；不僅要學會用它的“形”特征去理解它的“數”特征，還要學會用它的“數”特征去理解它的“形”。教師加強學生對圖形的認識理解和感悟能力的培養，學生對圖形的把握是指可以直觀地從圖形中提取有價值的信息，并對它們進行合情推理。

在學習拋物線的圖像與性質時，應確保學生有足夠的思考想象空間，在初學拋物線的時候鼓勵學生在進行動手實踐之后思考，總結經驗和知識。同時還要求學生將拋物線的知識應用到實際生活中，使學生解決問題的能力得到有效提高。

參考文獻：

[1]劉莉.基于笛卡兒數學思想的解析幾何教學策略研究[J].才智，2013（23）.

[2]羅婷婷，吳春燕.對高中數學課程中拋物線內容設置的分析研究[J].數學教學研究，2009（02）.

[3]鄧達斌.淺析數學思想方法在教學中的滲透[J].數學學習與研究，2010（07）.