數學教學案例分析

郁得環

本節課是在學習了直線和圓的位置關系后的一節習題課，旨在鞏固和提高學生運用數形結合思想方法和通過轉化解決問題的能力.

例1.（2010江蘇高考）在平面直角坐標系xoy中，已知圓x +y =4上有且只有四個點到直線l：12x-5y+c=0的距離為1，求實數c的取值范圍.

設計意圖：在學習了直線和圓的位置關系后，更深一層次地解決問題.本題的關鍵是讓直線動起來，在動態過程中尋找滿足題意的位置.通過數形結合解決這個問題，同時也讓學生發現直線在運動的過程中有三個點、兩個點和一個點時的c的取值范圍，讓學生自己動手動腦解決這個問題，以利于以后解本類題型的變式.

解析：由于圓上的點到直線的距離1恰好是半徑2的一半，當直線l介于直線l 與l 之間時，在直線l的兩側各有一條與l平行的直線l到的距離為1，故而有四個點. <1，即-13

通過這道題提高學生的識圖及分析問題的能力.

變式1.圓x +2x+y +4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為 的點有幾個？

解析：將圓的方程化為標準方程（x+1） +（y+2） =8，圓心（-1，-2）到直線x+y+1=0的距離d= = ，則與直線x+y+1=0的距離為 的兩條平行線與圓的公共點的個數即為所求.由于圓的半徑為2 ，因此與直線x+y+1=0的距離為 的平行線一條過圓心，另一條與圓相切，故這兩條直線與圓有兩個公共點.

變式2.設圓C：（x-3） +（y+5） =r （r>0），直線l：4x-3y-2=0：

①圓C上有且僅有一個點到直線l的距離等于1，求圓C的半徑r的取值范圍；

②圓C上有且僅有兩個點到直線l的距離等于1，求圓C的半徑r的取值范圍；

③圓C上有且僅有三個點到直線l的距離等于1，求圓C的半徑r的取值范圍；

④圓C上有且僅有四個點到直線l的距離等于1，求圓C的半徑r的取值范圍.

例2.如果x，y實數滿足方程（x-3） +（y-3） =6，求：

（1） 的最值；

（2）x+y的最值；

（3） 的最值；

（4）|3x+4y-36|的最值.

設計意圖：類比在線性規劃中解決此類問題的方法，先將所求的代數表達式賦予幾何意義，把問題轉化為求此幾何量的最值問題，再從幾何直觀出發，根據圖形的幾何性質觀察最值出現的時機和位置，從而解決代數表達式的最值問題.

解析：（1）設P（x，y），則P點的軌跡是已知圓C：（x-3） +（y-3） =6.而 的幾何意義就是直線OP的斜率k，依題可知當OP與圓C相切時斜率取得最值.

（2）設x+y=b，則y=-x+b，將問題轉化為直線運動過程中的縱截距的最值，依題可知當直線與圓相切時b取最值.

（3） 的幾何意義是圓上的點到定點（2，0）的距離，圓心到（2，0）的距離加半徑、減半徑即為最大和最小值.

（4）|3x+4y-36|的幾何意義是圓上的點到直線3x+4y-36=0的距離的5倍的最值.根據題意圓心到直線的距離加減半徑再乘5即為所求最值.

變式：已知實數x，y滿足x +y =9（y≥0），試求m= 與b=2x+y的取值范圍.

設計意圖：通過上道例題，很多學生認為都是在直線與圓相切時取得最值，故而做錯了.設計這道題讓學生明白在解決問題時要注意看圖及直線的運動情況再結合幾何意義給出結論，要真正地理解此類題的轉化和數形結合思想.

解析：這道題是易錯題.此題的圓是一半圓，根據圓上動點及m，b的幾何意義可知m的取值范圍是（-∞， ）∪[ ，+∞），b∈[-6，3 ].

通過這節課讓學生充分理解數形結合的重要性，以及由一個知識點引申出的一類題型的做法.