王玉輝

摘 要： 作者結合在高職院校中《高等數學》課程的教學實踐，探討如何通過微積分三大概念——極限、導數、積分的引進和建立，揭示高等數學思想方法——局部“以直代曲”，整體“近似代替精確”等，培養學生分析和解決問題的能力。

關鍵詞： 數學能力 以直代曲 近似代替精確

數學能力是一種特殊的能力，它包括運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和分析、解決實際問題的能力，分析和解決問題的能力是指運用數學知識分析和解決實際問題的能力，它是以前三者為其結構成分的綜合能力。

下面結合筆者在高職院校中《高等數學》課程的教學實踐談談如何通過微積分三大概念——極限、導數、積分的引進和建立過程揭示以直代曲、由常量到變量、有限到無限、具體到抽象、局部到整體的辯證的思維過程與思想方法，進而培養學生分析問題和解決問題的能力。

1.極限思想

極限概念是微積分中最基本的概念，微積分中幾乎所有的概念，如導數、積分都是用極限概念表達的，是特定過程、特定形式的極限，極限方法貫穿于微積分的始終。

我國魏晉時杰出數學家劉徽的“割圓術”就含有樸素的極限思想，是極限思想的具體體現，所以在極限概念教學時，我引導學生采用“割圓術”求圓面積滲透極限思想，具體做法如下。

（1）解釋劉徽的“割圓術”。

（2）作圓內接正多邊形，教師指出由直線圍成的正多邊形面積，它不能代替曲線（圓）圍成的面積，怎樣解決這一問題呢？

（3）學生經過思考會總結出：如果正多邊形邊數n無限增大就會發生質的飛躍，正多邊形變成圓，正多邊形面積變成了圓面積。

采取以上講解過程，會很好地幫助學生理解數列極限定義，體會到極限定義中蘊含著的量變向質變轉化的辯證思想，初步認識“以直代曲”，“從有限到無限”，“由近似求精確”這種有別于初等數學的全新的數學方法和思想。而這種極限的思想對今后微積分其他概念的建立，對提高學生邏輯思維能力，進而提高分析和解決問題的能力有非常大的幫助。

2.微分思想

微分學是從數量關系上描述物質運動的數學工具，基本概念是導數與微分。

在導數概念教學中，我設計了幾個問題引導學生運用極限概念中體現的辯證思維形式研究討論，解決引出導數概念的例題：求變速直線運動的瞬時速度。

（1）怎樣把非勻速直線運動轉化為勻速直線運動研究？即“以勻代不勻”，“以常量代變量”。

學生通過探索，發現直接“以勻代不勻”，用平均速度代瞬時速度，誤差會很大，聯想到求圓面積的思想方法和研究極限概念的思路，考慮到若把時間段分割成若干個小區間，在每個小區間上“以勻代不勻”，用平均速度代瞬時速度誤差較小。

（2）怎樣把小區間內的平均速度轉化為某一時刻的瞬時速度呢？

學生探索的結果是縮小區間，但每一次縮小后仍然是平均速度，要把平均速度轉化為某一時刻的瞬時速度，必須令△t→0，即必須使用極限的手段才能有質的飛躍。當△t→0時，→定值，從而得到非勻速直線運動某一時刻的瞬時速度。

（3）師生共同討論小結，得出解決這類問題的思路：研究變量在某一點的變化率問題要使用分割的方法，在小區間內用常量代替變量；再施以極限的手段，使小區間無限變小得到新的常量，最后得到變量在某一點的定量描述。在幾何意義上，這個過程是直與曲的轉化，在數量關系上，就是近似與精確的轉化。

3.積分思想

用與微分同樣的思路建立定積分概念時，學生已能夠熟練地把曲邊梯形“化整為零”，然后再“積零為整”。通過求一個新型的極限，即求和式當n→∞時的極限來定義定積分了。主要引導學生按以下步驟求由閉區間[a，b]上的連續曲線y=f（x）≥0，直線x=a，x=b與x軸能圍成的曲邊梯形面積。

（1）分割（化整為零）；（2）近似代替；（3）求和（積零為整）；（4）極限求精。

以上教學，不僅使學生初步理解掌握了極限、導數、定積分的定義，更重要的是在整個教學過程中揭示了高等數學的思想方法，培養了學生的邏輯思維能力，分析、解決問題的能力，以及受益終身的數學能力。