滲透數學思想，建構數學模型

許淵平

摘 要： 文章深入淺出地剖析了學生參與數學活動的學習策略，以及教師如何在活動中貫穿、滲透數學思想，引導學生建構和鞏固數學模型，提高解決數學問題的能力。

關鍵詞： 數學思想 認知過程 數學模型

教師引導學生通過數學活動，經歷學習策略的形成過程，體驗解決問題策略的多樣化，體驗策略的價值，受到數學方法的熏陶，訓練學生的數學思維，培養有序地、嚴密地思考問題的意識，讓學生有條理、清晰地闡述解決問題的思路，發展合情推理能力和初步演繹推理能力，將實際問題抽象成數學模型，理解和掌握數學的思想方法，提高解決數學問題的能力。

一、參與現實情境，經歷認知過程

教師要立足教材，根據學生的學情，調動學生已有的經驗，創設現實活動情境，引導學生思考數學現象，幫助學生樹立問題意識，引發學生的認知沖突，激發學生的探究欲望。讓學生借助形象思維，經歷數學知識的抽象過程，感悟數學新知的思想，進而主動完成知識體系的自我建構，體驗數學知識不斷優化的過程，真正實現讓學生經歷數學模型的產生、形成、發展和應用，促使學生樹立數學觀念。

例如教學“平行四邊形的面積計算公式”時，多媒體屏幕呈現平和縣三坪小學校園里一塊剛平整好的平行四邊形的花圃，提出：“學校準備在花圃里種植花草，請大家計算出這塊地的面積，才能合理計劃購買苗木的棵數。”這塊地的形狀是平行四邊形，生1：“怎樣計算呢？是否能運用學過的長方形面積計算方法？”生2：“長方形與平行四邊形是各不相同的兩種圖形，面積求法也不相同的。”根據學生的質疑，我在大屏幕上出示一張帶彩色方格的紙，紙上畫著一個長方形和一個平行四邊形，提出：“大家數數長方形和平行四邊形各占幾個方格？”學生匯報時，認為長方形與平行四邊形占的方格都是15個，說明它們的面積相等。生3：“能否把平行四邊形轉變成長方形呢？能否用長方形的面積推導出平行四邊形的面積？”我要求學生帶著這個問題進行實踐檢驗。學生通過合作剪一剪、拼一拼、數一數等辦法，把平行四邊形轉變成長方形，繼而求出平行四邊形面積=底×高。最后，學生計算出學校那塊平行四邊形花圃的面積，提供需要購買多少棵苗木的準確數據。通過現實情境，學生溝通新舊知識的聯系，經歷數學知識的形成過程，在猜測、歸納、推理中接受數學思想方法的熏陶，豐富數學體驗，發展數學思維，建構數學知識模型。

二、以實踐操作為載體，有效滲透數學思想

由于滲透數學思想方法是個循環往復、螺旋上升的過程，教師要以較容易理解的簡單形式呈現教學內容，設計、組織各種感性的數學活動，引導學生通過觀察、猜測、試驗等數學實踐活動，豐富學生的體驗，建立清晰的概念表象，培養學生善于獨立思考的習慣，使學生樹立有順序、全面地思考問題的意識，掌握解決數學問題的具體方法，體驗解決數學問題多樣性的策略，從中受到數學思想方法的熏陶。

例如教學“數學廣角——搭配中的學問”時，因為學生動手搭配探究衣服的可能情況，讓他們記錄下不同的搭配方法。成果展示會上，代表在臺上展示擺法，其他學生觀察臺上代表的操作過程，分析是否有遺漏或重復。讓學生思考與探究為什么會出現遺漏或重復的情況，怎樣才能做到搭配不重復不遺漏？怎樣記錄所有的擺法？在操作與探究中，學生體驗到搭配應講究順序。在整個探究活動中，我進行適時點撥，幫助學生建立表象，讓學生探究出兩種搭配思路：①固定上裝搭配下方；②固定下裝搭配上裝。體驗了有序的操作能將所有的情況一一列舉出來，保證計數時不重復、不遺漏，建立有序搭配模型的表象，樹立有序思考的意識，獲得有序思考的具體方法。建構這些數學模型后，我利用生活中的事例，設計一些搭配生活問題，要求學生操作探究，及時利用課堂生成資源滲透符號化的思想，促進學生對搭配規律進行深層認識。又如教學“找次品”例2時，因學生已掌握例1解決問題的策略，經過找次品，初步感受到解決問題策略的多樣性，所以我讓學生試驗、研討，尋找最優的解決問題方法，學生把零件分成（4，4，1），（3，3，3），（2，2，2，3），（4，4，1）。在淺顯、感性的操作中，學生感悟在分析和研究問題時只有做到全面考慮，才能使問題解決的結論更全面、具體。這種富有感性的呈現方式，讓學生通過觀察、猜測、試驗等方式，感受到解決問題的多樣性策略，經歷由具體到抽象的思維過程，培養優化策略解決問題的有效性，以及解決問題的能力。

三、深化體驗表象，鞏固數學模型

學生建立數學模型就是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構過程，在這一過程中，教師要關注建模思想的滲透，引導學生參與數學實踐活動，把抽象的數學知識形象化、具體化，讓學生經歷猜想、觀察、實驗、比較、抽象及概括歸納等數學活動，獲得數學知識的表象，深化對數學模型的理解，進一步鞏固數學模型，感悟數學思想方法。

例如教學“數學廣角——植樹問題”時，讓學生從多媒體創設的情境中提煉問題：要在全長20米的小路上的一邊栽樹，每隔5米栽1棵樹（兩端都要栽）。一共要栽多少棵樹苗？學生猜想、驗證，說出各自的驗證方法，再選擇喜歡的方式：或畫線段，或擺學具栽一栽、數一數共有幾個間隔？栽了幾棵樹？然后反思：猜測是否正確？為什么？在相互反饋過程中，學生經過探究、概括歸納，認為兩邊都栽樹時，植樹棵數=間隔數+1。通過探究與實踐操作，學生從中發現無論小路的長度是多少，在小路一邊栽樹時，只要兩端都栽，間隔數=總長÷間隔長、植樹棵數=間隔數+1這兩個式子都成立。接著，我出示生活中的一系列問題，要求學生利用所學知識解決這些題目。學生在拓展實例活動中建立成熟模型，運用數學模型解決實際問題，從而內化知識，升華思想。又如教學“體積概念”時，在觀看《烏鴉喝水》畫面后，學生感悟到由于烏鴉往瓶子里放石子，石子占了瓶子一定的空間，使水面上升，烏鴉就喝到水了。接著我用多媒體演示了一個實驗過程：兩個同樣大的玻璃杯，先往一個杯子里倒滿水；取一粒鵝卵石放入另一個杯子，再把第一個杯子里的水倒進第二個杯子里，這時第二個杯子裝不下第一個杯子全部的水。學生觀看了實驗，經過探討與實踐，感悟不同大小的鵝卵石占據的空間各不相同，大鵝卵石占據空間大，水面升得高；小鵝卵石占據空間較小，水面升得少。學生通過實踐、思考、討論探究，理解數學概念，獲得解決數學問題的方法，發展形象思維和邏輯思維，提高數學能力。