關于“相量法”的一種講授方法

藍屹群

摘 要： 本文用比較分析法，對大學電工學“相量法”一節的講授方式進行了探索，目的是通過該方法，凸顯“相量圖”在解決正弦交流電問題時所具有的天然優勢，從而便于學生深刻理解、掌握和應用。

關鍵詞： 正弦交流電 相量法 代數法 復數法

一、引言

在大學本（專）科電工電子課程教學中，“正弦交流電”是極其重要的一個環節，因為在生產和生活中所使用的一般都是正弦交流電。從常規的教學進程看，教師介紹完正弦交流電的基本特性參數（如周期、頻率、初相位、相位差、振幅、有效值等），通常接著要講解正弦量的三種表示方法，即波形圖法、代數式法及最重要的——相量法（旋轉矢量法）。對于前二者，其表達正弦量時的優點是顯而易見的，如波形圖形象直觀，容易看出信號的變化趨勢；代數式容易看出正弦量的三要素，關于這些學生都是容易理解和接受的。然而對于“相量法”，以筆者的教學體會看，雖然經過操練，學生能正確畫出某個正弦量的對應相量圖，但對用相量法表示正弦量在解決問題時的獨特優勢，學生往往不能很好地領會，即知其然而不知其所以然。為此，筆者在教學中作了如下設計。

二、教學步驟

首先筆者先舉例介紹一下相量圖的畫法。

如現有一正弦電壓，其表達式為u=2sin（314t+45°）V，則該信號的相量圖為直角坐標系中的一個相量，該相量的長度即為正弦量的振幅2，其與橫軸的夾角即為正弦量之初相位（如圖1所示）。

接下來，為熟練起見，教師可隨意寫出一些不同的正弦量表達式，令學生模仿畫出對應相量圖。一般來說，由于問題不難，學生都能做得快又好。但在學會畫法以后，學生對相量圖的內涵和解決問題的優勢卻往往不甚理解。換句話說，學生不明白為何要將正弦信號表示為這樣一個帶箭頭的相量。為說明此問題，筆者舉出下面一道例題（如圖2所示）：

該電路為一R、L電路，為簡單起見，已知電感感抗X=1Ω，R=1Ω，且i=1·sinωt（A），問⑴總電路端電壓為何種電壓？（直流？交流？其他？）（2）端電壓最大值為多少？

假設學生已經學習過單一參數交流電路（純電阻/電感/電容電路），一般而言，他們能很快答出兩個元件上電壓皆為交流電壓，甚至能夠給出各元件上電壓的表達式（如下）：

uR=Usinωt=IRsinωt=1·1·sinωt=sinωt

uL=Usin（ωt+90°）=lXsin（ωt+90°）=1·1·sin（ωt+90°）=sin（ωt+90°）

此時顯然，根據KVL，電路端電壓表達式

u=uR+uL=sinωt+sin（ωt+90°）

不妨讓學生直接根據表達式，思考其最大值為多少？每次筆者提出問題后，有些學生會想當然指出，表達式第1項和第2項的最大值都為1，故其和式的最大值為2。該結論筆者姑且存之，另一方面，筆者又在黑板上作了如下演算：利用三角學中的和差化積公式sinA+sinB=2sin（）cos（），此時令α=ωt，β=ωt+90°，則

u=sinωt+sin（ωt+90°）=2sin（）cos（），

=2sin（ωt+45°）·=sin（ωt+45°）

由以上計算，可以自然地得出，此時端電壓u仍然是一個正弦量，且其最大值為，而非先前學生所猜測的2。教師可因勢利導畫出的波形圖（如圖3所示），指出，從波形圖來看，由于（初）相位不同，sinωt和sin（ωt+90°）并非同時達到最大值，故的最大值就不可能為2（順便復習初相位的作用）。接下來，可讓學生用相量法在黑板上畫出uR，UL的相量圖，如圖4所示，既然端電壓u=uR+uL，則在相量圖上，端電壓u所對應相量自然為U，U根據平行四邊形法則作出的合相量。既然一個正弦量可表示為一個帶箭頭的相量，反之一個相量亦表征一個正弦量，故端電壓必是一個正弦量。故可設u=Usin（ω′t+φ），從圖上可以非常直觀地看出，U即為u所對應相量的長度，u的初相位即為與橫軸的夾角45°（顯然△OBC為等腰直角三角形），至于u的角頻率ω′，此時教師應提醒學生注意，并非靜態相量，而是以角速度ω做逆時針勻速轉動，則它們的合相量自然以ω做同步轉動，即ω′=ω，故立刻得到，端電壓u=sin（ωt+45°），其結果與代數法的結論完全相同，且求解速度較快（從相量圖上，教師可順便指出，對于不同頻率的正弦量的合成，由于圖中各分相量與合相量并不能同步旋轉，故相量法只能用于同頻率的信號合成。）。

為深化結論，教師還可將原題的題設條件稍作改動，比如令原電路中電感感抗X=2Ω，則u=sinωt+2sin（ωt+90°），該表達式從代數法來講并無現成公式可用，但用從相量圖依然可直接得出其最值為，頻率仍然為ω，從幾何上容易看出其初相位為arctg2，說明用相量圖求解交流電的問題在方法上具有普適性。

此外，如學生已學過復數，亦可將uR，uL看做復數，此問題可用復數法求解，過程如下：

=+=1∠0°+1∠90°=1（cos0°+jsin0°）+1（cos90°+jsin90°）

=1+j=∠45°

該過程同樣可以說明，u的振幅（最大值）為，初相位（即復數的幅角45°），然而由于該計算過程需將信號按歐拉公式展開，并將實、虛部合并，較之相量圖分析問題，步驟稍顯繁瑣，效率不高。可以想象，對于情況更復雜的電路（如RLC電路），無論是代數法還是復數法均遠不如相量圖法簡潔高效。

三、結語

筆者對同一道題用不同方法進行了剖析，并且比較了幾種方法的優缺點。從實際教學效果看，通過這些例子，學生對相量法的優勢有了比較深入的了解，碰到更復雜的問題也能夠自覺使用該方法求解，避免“知其然而不知其所以然”。推而廣之，在教學中遇到難點，教師如從多方引導、比較，從多角度分析問題，相信學生對知識點的掌握就能更透徹扎實。

參考文獻：

[1]秦曾煌，編.電工學.上冊.北京：高等教育出版社，2004.1.

[2]王照清，編.維修電工.初級.北京：中國勞動社會保障出版社，2005.3.