感悟動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)美

王曉萍

摘 要： 數(shù)學(xué)中有諸多美學(xué)因素：對(duì)稱(chēng)美、簡(jiǎn)單美、奇異美、和諧美、力量美等，只有在動(dòng)態(tài)的過(guò)程中，這些美才能被展示到極致.

關(guān)鍵詞： 對(duì)稱(chēng)美 簡(jiǎn)單美 奇異美 和諧美 力量美

數(shù)學(xué)中諸多的美學(xué)因素早已為大家所熟知，比如對(duì)稱(chēng)美、簡(jiǎn)單美、和諧美、奇異美等.靜態(tài)地看，它們足可賞心悅目、陶情冶趣，而在動(dòng)態(tài)的過(guò)程中觀之，則更能看出它的流暢美和力量美.事實(shí)上只有在動(dòng)態(tài)的過(guò)程中，這些美才能在形式上和內(nèi)涵上都被展示到極致，才能讓人在體會(huì)美的同時(shí)感受到一種生命力：這是一種超越欣賞（可以實(shí)用）、甚至也超越功利（不但實(shí)用）生動(dòng)的美.

一、對(duì)稱(chēng)美：運(yùn)動(dòng)帶來(lái)新觀念

說(shuō)起對(duì)稱(chēng)美，我們不妨舉最簡(jiǎn)單的對(duì)稱(chēng)圖形，即等腰三角形.

初中《幾何》第二冊(cè)上有這樣一條定理：

圖1

例1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.

課本上的證明是：作角A的平分線(xiàn)交BC于D點(diǎn)（圖1），然后證明△ABD≌△ACD（SAS），從而∠B=∠C.

圖2

在今天看來(lái)，這是個(gè)初中生也能理解的題目.但是數(shù)學(xué)文化史專(zhuān)家克萊因（代表作是《古今數(shù)學(xué)思想》）認(rèn)為它“特別有趣”，一是因?yàn)闅W幾里得在他的體系里比較早地給出了這個(gè)結(jié)果；二是一直到文藝復(fù)興之前的1000多年時(shí)間里，它代表了大學(xué)中幾何學(xué)習(xí)的水平.在歐洲中世紀(jì)的大學(xué)里，這個(gè)定理被稱(chēng)為“笨蛋的難關(guān)”，也叫“驢橋”，因?yàn)楸康白C明不了這個(gè)問(wèn)題，就再也無(wú)法前進(jìn)了.歐幾里得選擇角A的平分線(xiàn)AD為輔助線(xiàn)，是充分考慮到了圖形的對(duì)稱(chēng)性的自然結(jié)果（后來(lái)我們知道AD也是BC邊上的高，因而是對(duì)稱(chēng)軸）.恰恰是“輔助線(xiàn)”這種無(wú)中生有的東西成了很多人難以逾越的障礙.如果我們換個(gè)角度，讓圖形動(dòng)起來(lái)，將△ABD繞AD旋轉(zhuǎn)（圖2），則它可與△ACD重合.一種奇異的景象展現(xiàn)在我們面前：△ABC與△ACB重合.于是一種新的巧妙證法翩然而至，而它只依靠這個(gè)三角形本身，不需要輔助線(xiàn).

另證：在△ABC與△ACB中（如圖2中的（1）和（3）），

AB=AC（已知）

AC=AB（等式性質(zhì)）

又∠A=∠A（同角）

故△ABC≌△ACB（SAS）

從而∠B=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

靜態(tài)的對(duì)稱(chēng)具有形象美，動(dòng)態(tài)的對(duì)稱(chēng)則有韻律美，前者在心理上產(chǎn)生吸引力，后者則可能產(chǎn)生震撼力.本題的兩種思維結(jié)果（證明過(guò)程），其實(shí)代表著不同水平的心智活動(dòng).

二、簡(jiǎn)單美：前后聯(lián)系辯證看

一般地講，繁與難會(huì)造成一種心理上的恐慌，簡(jiǎn)潔則能給人以安全感和舒暢感，這就是簡(jiǎn)單美的心理基礎(chǔ).數(shù)學(xué)上對(duì)簡(jiǎn)單規(guī)律的追求，以及對(duì)難題的簡(jiǎn)潔解法的追求始終是一種不可遏制的趨勢(shì).愛(ài)因斯坦說(shuō)：“如果兩種理論都能解釋同一個(gè)現(xiàn)象，則簡(jiǎn)單的那個(gè)就是好的.”

三、奇異美：變化帶來(lái)新奇觀

一個(gè)奇妙的想法、一個(gè)優(yōu)美的結(jié)果本身就夠令人神往的了，如果這種奇異性不是在于一處兩處，而是一個(gè)過(guò)程中，時(shí)時(shí)處處奇招迭出、妙景頻現(xiàn)，那解題者會(huì)有什么樣的情感體驗(yàn)?zāi)兀?/p>

橢圓的形象對(duì)稱(chēng)優(yōu)美，上述的等式也具有對(duì)稱(chēng)性，而且非常簡(jiǎn)潔，按理說(shuō)這已達(dá)到了數(shù)與形的和諧，似乎可以滿(mǎn)足.但上述的和諧只是靜態(tài)的，真正用①式解題時(shí)，常有不方便之處.而且①式?jīng)]有實(shí)現(xiàn)橢圓與坐標(biāo)及方程之間的高度完美的這就是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，b也又確實(shí)具有確定的幾何意義（半短軸的長(zhǎng)）.不僅本身和諧簡(jiǎn)潔，而且與解析幾何的整個(gè)知識(shí)體系和方法體系相適應(yīng)，達(dá)到了更高層次的和諧.

五、力量美：只有在活動(dòng)中才能得到體現(xiàn)

從古至今，數(shù)學(xué)一直在生產(chǎn)和生活中發(fā)揮著巨大作用.特別是現(xiàn)在，數(shù)字化技術(shù)日新月異地發(fā)展，使得數(shù)學(xué)直接在人類(lèi)實(shí)踐的各個(gè)方面發(fā)揮著它獨(dú)有的效力，給我們以技術(shù)上的支持和心理上的保障，自然也就在我們心頭產(chǎn)生了新的美感——力量美.當(dāng)然，這種美在靜態(tài)下是無(wú)以領(lǐng)會(huì)的，只有在使用它進(jìn)行創(chuàng)造性工作的過(guò)程中才能認(rèn)識(shí)到它那無(wú)堅(jiān)不摧的力量.

例5：靠什么發(fā)現(xiàn)了“筆尖上發(fā)現(xiàn)的行星”？

多數(shù)天文學(xué)家認(rèn)為可能在天王星之外還有一顆未知行星，人們發(fā)現(xiàn)對(duì)太陽(yáng)系其他行星都適用的開(kāi)普勒定律和牛頓引力理論對(duì)天王星總有不大的一點(diǎn)偏差，觀測(cè)與預(yù)報(bào)的位置總有偏離.正是它對(duì)天王星的攝動(dòng)力才造成天王星運(yùn)動(dòng)的反常.人們毫不懷疑數(shù)據(jù)，同時(shí)也堅(jiān)信開(kāi)普勒和牛頓理論的正確性.有人建議，可以從這種偏差去估計(jì)攝動(dòng)的大小，從而推算出未知行星的位置.然而這種工作在數(shù)學(xué)上有著巨大的困難，令人望而卻步.

當(dāng)時(shí)有兩個(gè)青年——英國(guó)的亞當(dāng)斯（Adams）和法國(guó)的勒威耶（LeVerrier）在互不知曉的情況下分別進(jìn)行了整整兩年的工作.1845年亞當(dāng)斯先算出結(jié)果，并把計(jì)算結(jié)果報(bào)告給格林尼治天文臺(tái)，希望他們?cè)谥付ǖ奈恢眠M(jìn)行觀察.但格林尼治天文臺(tái)卻把他的論文束之高閣.1846年9月18日，勒威耶把結(jié)果寄到了柏林，受到了重視.柏林天文臺(tái)的伽勒（J.G.Galle）于第二晚就進(jìn)行了搜索，并且在離勒威耶預(yù)報(bào)位置不遠(yuǎn)的地方發(fā)現(xiàn)了這顆新行星.雖然是伽勒第一個(gè)“看見(jiàn)”海王星，但是人們（包括伽勒本人）仍然公認(rèn)海王星是由勒威耶發(fā)現(xiàn)的，也可以加上亞當(dāng)斯.并從此稱(chēng)海王星是“筆尖上發(fā)現(xiàn)的行星”.

時(shí)至今日，借助于數(shù)學(xué)而實(shí)現(xiàn)的類(lèi)似發(fā)現(xiàn)已成常態(tài)，那種靠偶然“撞見(jiàn)”而實(shí)現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)，雖然也可能有價(jià)值，但是已很難被冠以“重大”兩個(gè)字了.

數(shù)學(xué)中，美的素材是無(wú)窮無(wú)盡的，美的形式是多姿多彩的，而動(dòng)態(tài)的美尤其具有獨(dú)特的神韻與活力.那是流淌著的詩(shī)意、那是縈繞著的樂(lè)曲、那是噴發(fā)著的激情、那是轟鳴著的步履.在動(dòng)態(tài)的過(guò)程中，我們更能產(chǎn)生美的體驗(yàn)、激起美的情感、挖掘美的內(nèi)涵、創(chuàng)造美的結(jié)果、陶冶美的情操.斯圖利亞爾說(shuō)“數(shù)學(xué)教學(xué)其實(shí)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”，就讓我們?cè)谶@一活動(dòng)中盡情領(lǐng)略美的風(fēng)致，感悟美的真諦.

參考文獻(xiàn)：

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