數學史隨談

崔雪莉

摘 要： 數學史涵蓋數學內容和思想等方面的演變過程，以及影響其發展的社會與人文因素.本文先是對數學史具有代表性的經典算學著作的內容總結，然后闡述現在教材中展現的古代數學思想.

關鍵詞： 數學史 中國數學史 算學著作 弦圖

數學在人類歷史發展和社會生活中發揮著不可替代的作用，也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具.然而，相對于其他數學專業來說，高校往往忽略了對數學史的研究，有數學史專業的高校很少.很多大學生，甚至是數學專業的大學生都很少知道數學史這個專業.對于學習數學專業的大學生及中學數學教師來說，掌握必要的數學史知識，不僅是完成教學任務所必需的，而且是對學生思想教育所不可或缺的，對讓學生被數學的神奇魅力吸引，從而對數學產生興趣有很大的幫助.

一、數學史簡介

數學史的全稱是中國數學科學技術史，是研究數學科學發生發展及其規律的科學，簡單地說，就是研究數學的歷史.其是世界文化史的一部分.其不僅追溯數學內容、思想和方法的演變、發展過程，而且探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數學科學的發展對人類文明所帶來的影響.因此，數學史研究對象不僅包括具體的數學內容，而且涉及歷史學、哲學、文化學、宗教等社會科學與人文科學內容，是一門交叉性學科.對數學史的研究是我們了解過去，總結現在，展望未來的重要方法，是我們現在學習數學的需要，也是數學發展的必要基石.

二、中國數學史

回望歷史，作為自然科學基礎學科的中國數學，在其獨立創造和發展過程中取得了輝煌成就.正如錢寶琮先生所說：“中國數學在世界數學發展過程中占有重要的地位，形成了自身的特點.”從現存的中國傳統數學著作來看，古代數學家的造詣頗深，有些成就是超越當時西方數學的.在輾轉相傳的眾多數學典籍中，一批經典著作集中了中國算學的輝煌成就，體現了中國算學的特點和風格.尤以我國漢唐千余年間陸續出現的是數學著作總集“算經十書”和南宋數學家所著《數書九章》最寶貴，可謂是中國數學史上的瑰寶.

《周髀算經》是一部成書于西漢或更早時期的推崇蓋天說和四分歷法的天文歷算著作，天文內容是我國最早的天文學著作.書中引用的數學名詞很多，有的一直沿用至今，如勾股、徑、乘、除、開方、倍、法（分母或除數）等.

《張丘建算經》由南北朝時期北魏數學家張丘建撰.共3卷，收92題，均為測量、紡織、交換、納稅、冶煉、土木工程等各種應用題.其突出的數學成就有：①分數研究，書中收入很多分數應用問題，并提出最小公倍數概念和通分、約分方法.②等差級數問題，他提出了六七個等差數列求和公式.③百雞問題，卷下最后一題是世界著名的“百雞”問題研究：“今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一.凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”張丘建在這個問題中提出了不定方程的解法問題，是世界數學史上最早提出的，在世界上影響深遠.

《數書九章》由南宋數學家秦九韶著（1247年），又稱《數術大略》.全書分為大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷類、營建類、軍旅類和市易類九大類問題.書中的大衍總數術系統敘述了一次同余式解法；改進了線性方程組解法；其三斜求積公式與海倫公式等價；使用了完整的十進小數記法.這本書概括了宋元時期中國傳統數學的主要成就，代表了中世紀世界數學發展的主流和最高水平，也是中國古代數學發展的頂峰標志.

《緝古算經》成書于630年左右，唐初王孝通撰.有天文問題、土木工程中的數學問題，地窖和倉庫的容積問題及勾股問題四類.問題雖不多但難度很大，一直被用來做教材，后又流傳到日本等亞洲國家，是中國古代解數字三次方程現存最古老的著作.

三、現在數學教學中的古代數學

如果你了解一些數學史，你就會發現，中學課本封面的圖形就是中國數學史上著名的“弦圖”（圖1，由四個全等的直角三角形圍成），北京中科院數學科學研究所的標志也是這個圖形.這一簡單的圖形凝結著中國古代很多位數學家的智慧結晶，不知道當學生手中拿著數學教科書時，老師們有沒有告訴他們這圖形背后的故事.

圖1

“弦圖”是我國古代數學家趙爽在《周髀算經》“勾股圓方圖”注中運用“出入相補”原理給出一個勾股定理的證明而畫.他說：“按，弦圖又可以勾相乘為朱實二，倍之為朱實四.以勾股之差自乘為中黃實.加差實亦成弦實.”意思是，直角三角形勾的平方為兩個直角三角形的面積，再翻倍為四個直角三角形的面積.用直角三角形的股減去勾的差再平方就是中間正方形的面積.則兩數相加即為以直角三角形弦為邊的正方形面積.

圖2

用代數式表示即：設勾股形勾a、股b、弦c，則c■=4×■ab+（b-a）■=a■+b■.

后來歷代數學家對勾股定理的證明均有研究，其中清末數學家華蘅芳在《算草從存》中的“青朱出入圖說”，設有22圖，都是由弦圖變化而來，對應著勾股定理證明的22種證明，圖為其一.

如果對此稍加深入了解，那么我們的中學教學及試題內容就會豐富很多.

中國古代數學有勾股形基本3事勾a，股b，弦c逐漸形成包括它們在內的13事.即還有五和五較分別是勾弦和c+a，股弦和c+b，勾股和b+a，弦和和b+a+c，弦較和b-a+c，勾弦較c-a，股弦較c-b，勾股較，弦和較，弦較較.又由這13事構成的具有比例四率（若x，y，z，w，滿足x∶y=y∶z=z∶w，則成為比例四率）或比例三率（若x，y，z滿足x∶y=y∶z，則稱三者為連比例三率，x為首率，y為中率，z為末率）形式的勾股恒等式有20個，如：（c-b）（c+b）=a■，（c-b+a）（b-a+c）=2ab等，看似簡單的式子，都是歷代數學家逐漸發現的.

如果在教學中學生能對這些多少有些了解，那么他們就會對學習數學多一分好奇，多一分興趣，并且數學史中還涉及影響數學發展的社會和人文因素，在教學過程中，如果教師能講一講與所學知識相關聯的歷史上的某個事件或某個故事，那么課堂和學生的學習就會少一些枯燥乏味，同時也拓展了學生的知識面.了解數學史多姿多彩豐富的內容，有助于我們對數學形成更深刻的認識，并且對老師的教學和學生的學習都有很大的幫助.

參考文獻：

[1]李兆華，主編.中國數學史基礎.天津教育出版社，2010，9.

[2]陳金干，孫映成，主編.中外數學史.中國礦業大學出版社，2002，11.

[3]杜石然，等編著.中國科學技術史稿.北京大學出版社，2012，2.