“函數的微分”教改設計

董艷

摘 要： 微分是學生以前從未接觸過的概念，比較抽象，特別是課本上的引例，經過多次講解，發現通過此引例引入，學生不易理解，因此如何引入微分的概念是上好本節課的重點也是難點.本文主要是針對此特別設計的.以問題驅動引入本節，讓學生通過做題體會其中遇到的困難，進而分析問題，解決問題，帶著問題引入微分的概念，其中主要利用數形結合的方法講解概念，過渡自然，最終得出求微分就是求導數的.

關鍵詞： 微分 概念 導數 問題驅動 數形結合

一、課前準備

1.復習引入

設計目的：求微分就是求導數，因此新課前首先對導數的概念進行復習；微分是為了解決函數值的增量而引入的，因而復習的第二個知識點就是增量的概念.

2.課堂任務

設計思想：讓學生通過做一道有關增量的題目（見下表），使學生體會到計算中的困難，并通過數形結合法分析所遇到的問題從而引入微分概念.

課堂任務：按要求完成下列表格：

表1 函數y=x■-x在點2處當取不同自變量增量時函數值增量的計算

3.問題提出

在上面任務完成的過程中，遇到的問題是：函數y=x■-x在點2附近處的函數值不容易計算，導致在這點附近函數值的增量也不容易計算.

4.分析問題

作出y=x■-x的圖像，為了求出函數在點2附近處的函數值，我們過這點作曲線的切線，會發現什么呢？

圖1 函數的圖像及其在點2處的切線

由圖可知在點2附近，曲線和切線十分接近，我們可以用切線上的函數值近似地代替曲線上的函數值，寫出切線的方程為：f（x）-6=11（x-2），觀察這個等式的左右兩邊可以進一步寫成：Δy=11Δx，那么就用此式計算下剛才的那個問題，可得下表：

表2 切線上的函數值增量與曲線上函數值增量作比較

5.得出結論

當Δx→0時，Δy≈dy，今天我們講的函數的微分其實就是切線上的函數值的增量，它是用來近似代替曲線上的函數值的增量的，可是再怎么近似，也會有誤差，誤差有多大呢，微分的概念就可以解決這個問題.

二、新課講解

1.先請學生用心看一遍定義

2.通過圖形解釋定義

圖2 函數的微分概念的圖形解釋

3.解決引入中的問題

從圖3中很容易得出：Δy-dy=0（Δx），0（Δx）是什么意思呢？

4.對0（Δx）的解釋

5.公式中“A”的推導[1]

6.導數和微分的關系（可微的條件）

三、課堂小結

本節課我們主要學習了函數的微分概念，微分其實就是曲線函數在一點處，當自變量變化很小時，相應的切線上函數值的改變量，它是用來近似代替曲線上的函數值的改變量的，從而體現了以直代曲的思想.

參考文獻：

[1]岳忠玉.高等數學[M].第一版，西北大學出版社，2012.

[2]云連英.微積分應用基礎[M].第三版，高等教育出版社，2014.

[3]王福楹，等.高等數學[M].第三版，高等教育出版社，2006.

[4]崔信.高等數學[M].第一版，北京出版社，2014.

基金項目：陜西省職業技術教育學會2015年度教育科研規劃立項課題No.SZJYB2015040）