關于初中數學開放性問題的幾點認識

張穎

摘 要： 數學開放性問題，對學生具有挑戰性和探究性，是最富有教育價值的一種數學題型，也是近年來各類升學考試的熱點.通過對典型考題特征的分析，有針對性地提出解題思路和方法.

關鍵詞： 初中數學 開放性問題 解題策略

當今的數學課堂倡導以學生為主體，賦予他們獨立思考的自由和空間，培養學生具備更高數學素養和更強的創造力.數學開放題正是能體現這種價值，把純粹解題的過程演變為學生通過探究形成自己思維的過程，是數學綜合素質的一種反映，對促進學生養成多層次、多方面思考的習慣有很大的幫助，已經被引入了各地中考中。但是很多情況下，這也是他們最頭疼的、最害怕解決的問題.筆者在多年的初中數學提優輔導中深刻地認識到這點，并積累了一些經驗，與大家共同探討.

首先什么是數學開放性問題？它是相對傳統的封閉題目而言的，指條件和結論不完備或不確定、解題策略多樣化的題目，大致可分為條件開放、結論開放及條件和結論都開放的三種類型，具有一定的難度，對學生的觀察、類比、歸納、猜想、實驗能力提出了較高的要求.下面例析兩種常見題型的解題策略.

一、猜想開放型

所謂猜想是指根據現有的材料和信息，對研究的對象先進行觀察、比較和分析，作出有道理的想象，從而發現隱藏的規律.教師在平時教學中教法要靈活，可以設計一些類比性的活動，讓學生有實驗的經歷，培養他們的耐心，能不厭其煩地通過對大量特殊情形進行觀察，敢于想象，積累發現規律的經驗.

例1：如圖1，是五角星燈連續旋轉閃爍所成的三個圖形.照此規律閃爍，下一個呈現出來的圖形是（ ）

上面三個五角星中都各有三個深色的三角形，其中一個單獨的與另兩個相鄰的三角形相對，如果把三個深色三角形作為一個整體，閃爍一次，可看做是順時針旋轉144度（也就是與原來的隔一角）.猜想題最忌諱毫無章法，胡亂猜測，一定要循序漸進，做到有章可循，就可以從題目初始的幾種情形中發現重要信息，從而實現輕松解題.本題以現有的三個圖形中深色三角形的運動變化為載體，借助幾何直觀的思維形式，探索在此過程中它們之間存在的相互依存關系，考查了學生的形象思維和抽象思維.

二、條件開放型

此類問題是指結論已知，而條件需探求，并且具有開放性.解決辦法通常采取由結果入手追溯原因的探索方式.這類題型雖然考查的都是基礎知識，但是給學生較大的思考空間，不能被動地套用解題模式，而應在問題情境中創造性地解決問題.

例2：在平面直角坐標系中，等腰三角形ABC的頂點A的坐標為（2，2）.

（1）若底邊BC在x軸上，請寫出一組滿足條件的點B，點C的坐標：______；設點B，點C的坐標分別為（m，0），（n，0），你認為m，n應滿足怎樣的條件？

（2）若底邊BC的兩個端點分別在x軸，y軸上，請寫出一組滿足條件的點B，點C的坐標：？搖？搖 ？搖？搖；設點B，點C的坐標分別為（m，0），（0，n），你認為m，n應滿足怎樣的條件？

分析：可以通過等腰三角形的作法探求符合題意的條件：由于AB=AC，故點B和點C在以A為圓心的同一個圓上.（1）如圖2（a），作AE⊥x軸于E，以大于AE的長度為半徑畫弧，與x軸的交點即為符合題意的點B和點C.易知E（2，0）為線段BC的中點，故CE=EB，即n-2=2-m；（2）類似于（1）作⊙A，與兩條坐標軸分別交于B1，B2，C1，C2，顯然當A，B，C三點不共線時這樣確定的點B，C均符合題意.

在許多數學試題中，有時單從數字中很難看出什么眉目，但如果能有意識地從“形”的角度聯系起來進行分析，往往會收到出奇制勝的效果.本題是數形結合反映規律，重復出現的圖形反映出數字所具有的規律，要求解數字問題，關鍵還在于找出其中包含的“變中不變”的特殊情況.所謂“變中不變”，對于一個對象而言，是指該對象在變化的過程中，但它的某些屬性不變；對于兩個或兩個以上的對象而言，是指在變化過程中它們之間的某種關系不變.

開放性試題信息量大，主要特點是以某種幾何圖形為載體，點、線、形在圖形上按某種內在聯系運動的過程中引起了相關量的變化，對學生獲取信息和處理信息的能力要求較高；解題時需要用運動和變化的眼光觀察和研究問題，挖掘運動、變化的全過程，并特別關注運動與變化中的不變量、不變關系或特殊關系，動中取靜，靜中求動，綜合運用函數、方程、分類討論、數形結合等數學思想.

筆者認為，開放性試題作為考查考生創新意識的有效手段之一，總體上講在各類升學考試中是可行的.它使得教師在教學中必須注重解題方法和思維的訓練，只有加強過程教學，才能使學生在面對開放題時，能夠游刃有余，得心應手.同時可以促進學生自主研究性學習，體驗數學思想方法的形成過程，增強數學應用意識，有效考查考生的學習潛質.但也不可一味地追求更高更難的境界，使數學考題淪為奧賽題，失去有效提高教師教學水平、學生學習數學的興趣和自信心.