“拆解法”及其在數學解題中的應用

陳海濱

摘 要：從多年的數學教學與研究的積累中，探索出一種數學解題方法—— 拆解法。利用拆數、拆式、拆角、拆圖等技巧揭示數學問題的隱蔽關系，尋找解決問題的隱含條件，為解決一些數學難題以及快速解題提供一種行之有效、應用范圍廣、具有啟發性的數學解題方法。在研究探索初等數學解題方法時，不論是代數問題，還是幾何問題，在熟悉數學基礎知識和掌握基本解題方法的基礎上，運用此法便于尋找解題思路、揭示隱含條件、抓住問題關鍵，易于化難為易、化繁為簡、分散難點，能使解題思路開闊、巧法頻生，醞釀出多種不同的解題策略和思路，具有舉一反三、觸類旁通、事半功倍之效。若能熟練地運用這種方法，將會明顯地提高觀察、分析、發現、解決問題的能力。

關鍵詞：數學解題 拆解法 隱含條件 應用

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）06（a）-0213-03

數學是在解決問題中產生，并在解決各種問題的過程中不斷發展起來的。正如美國著名數學家哈爾莫（Halmos）提出的那樣“數學的真正組成部分是問題和解”。而解決數學問題的過程往往是一個相當復雜的思維過程，沒有一個絕對的公式和方法，它不僅具有各種策略和途徑，而且它的規則與方法有一部分是“隱蔽”的，這正是數學魅力所在。一個數學題的解決是否正確、迅速、巧妙、合理，甚至具有創造性，往往就在于能否挖掘和利用好“隱蔽”部分，找出“隱含條件”。筆者經過多年的教學實踐與研究探索出了一種全新的數學解題方法—— 拆解法。

1 “拆解法”的內涵

1.1 背景與依據

背景：眾所周知，數學解題方法奧妙無窮，沒有一個絕對的公式和方法。筆者從教多年來，學生都在問同一個問題：有沒有一種通用的數學解題方法可以解決初等數學問題。于是，筆者開始思考能不能有一個相對應用廣泛的方法與技巧可以解決初等數學問題呢？經過多年的教學研究與探索，現在有了答案。

依據：方法論的基本原理和數學解題的基本思想、基本方法。

1.2 定義和特點

定義：所謂“拆解法”就是以數學問題的條件和結論為切入點，通過觀察分析它們的結構（圖形）特征，展開聯想類比相關的已掌握的知識與方法，利用拆數、拆式、拆角、拆圖等技巧進行猜想嘗試，揭示數學問題的隱蔽關系，尋找隱含條件，搭建條件與結論的“橋梁”，進而解決問題的一種數學解題方法。

特點：可操作性強、應用范圍廣、具有啟發性。

1.3 方法與目的

方法：充分利用觀察分析法、聯想類比法與拆數、拆式、拆角、拆圖等技巧進行猜想嘗試。

目的：揭示隱含條件、抓住問題關鍵、開闊解題視野、尋求解題思路；舉一反三、觸類旁通醞釀出多種不同的解題策略；化繁為簡、化難為易、分散難點達到事半功倍之效。

1.4 適用原則與范圍

適用原則：在熟悉數學基礎知識和掌握基本解題方法的基礎上運用“拆解法”。

適用范圍：初等數學中的大多數問題都適用，尤其適用于一些數學難題以及快速解題。

2 “拆解法”在代數問題中的應用

在研究代數問題時，往往探索解題途徑是最重要的和最困難的階段，總覺得有些問題無從入手，找不到思路，抓不住解決問題的關鍵。下面的技巧運用會為解決這類問題提供借鑒。

2.1 “拆數”技巧應用舉例

在求數列通項公式時，特別是給出若干項的數列求通項公式是數學中的一個難點。若采用“拆數為數”的技巧，容易找到“隱含條件”，從而巧妙地解決這類問題。

例1：求數列的通項公式。

3 “拆解法”在幾何問題中的應用

在研究幾何問題時，有許多方法為人所熟知和運用。針對大多數幾何問題都會給出幾何圖形，特別是較難問題的圖形錯綜復雜，令人眼花繚亂，無所適從。下面的技巧運用會為解決這類問題指明方向。

3.1 “拆圖”在平面幾何中應用舉例

在平面幾何中，像比較復雜的存在性、開放性、探究性和動點等問題，圖形紛繁復雜，結論不確定要探索，往往令人理不出頭緒，找不到問題的關鍵所在。若采用由題意分段由簡到繁逐步畫圖聯想類比相關的已掌握的知識與方法，對照給定的圖形進行猜想嘗試的“拆圖”技巧，則可以快速找到“隱含條件”—— 不變量，搭建起條件與結論的“橋梁”，巧妙而迅速地解決問題。

例6：已知P是線段AB上一動點，分別以AP、BP長作正三角形△ACP、△BPD，連接AD、BC交于Q點，設∠AQC=，如圖1。問：的度數是否會隨P點運動而改變，若不會，請證明。

分析：本題是探究性動點問題，難度較大。若按常規直接觀察給定的圖1進行審題，則很難找到解決問題的關鍵：∠PAD =∠PCB（不變量）。現采用“拆圖”技巧，進行如下分析：

（1）由題意逐步畫圖（盡量不看給定的圖形），聯想類比熟知的知識與方法：如圖2（1）。

3.2 “拆圖”在立體幾何中應用舉例

在研究立體幾何問題時，大多依據降維思想，化空間圖形問題到平面圖形中去解決。像異面直線成角、線面成角、面面成角等都是轉為平面角去解決的。在具體解題時，對于一些較復雜的問題，可參考“拆圖”技巧在平面幾何中的應用；而針對有些很復雜的問題，則可以采用由給定的圖形分段由繁到簡逐步拆出簡單的平面圖形聯想類比相關的平面幾何知識，對照給定的圖形進行猜想嘗試的“拆圖”技巧。就容易找到解決問題的關鍵——“隱含條件”，搭建起條件與結論的“橋梁”，進而解決問題。

例7：如圖3，過四面體V—ABC的底面上任一點O，分別作OA1∥VA、OB1∥VB、OC1∥VC，其中A1、B1、C1分別是所作直線與側面的交點。求證：為定值。

分析：顯然，本題難度較大。若采用“拆圖”在平面幾何中應用的技巧，則按題意很難畫出給定的復雜圖形進行觀察分析。

若直接觀察給定的復雜圖形，則難以發現解決問題的關鍵—— 隱含條件。現在依據降維思想，從另一個角度采用“拆圖”技巧，即由給定的圖形分段逐步拆出簡單的平面圖形，進行猜想與嘗試，看能否解決問題。

是底面△ABC中的“線段比例關系”，這樣，就將空間問題轉為平面問題，只要能證明（2）為定值，則問題得以解決。

（2）若直接觀察給定的圖形去尋找證明（2）為定值的途徑，則會被不必要的點、線、面及其關系干擾，難度大。繼續嘗試采用“拆圖”技巧，從給定的圖形中拆出底面△ABC，聯想類比平面幾何中證明“線段比例關系”的常用方法，不難想到，過點O作OD∥AC、OE∥BC，分別交AB于D、E兩點，如圖5。類似“1”中的方法可繼續“拆圖”，容易由“相似三角形和比例性質”的相關知識，得，，

，等式兩邊分別相加得：，即。

拆解法不僅能解決類似上述一些較難問題，而且還可以快速解決其它問題。諸如，求值、求周期等三角函數問題可以用“拆數”或“拆角”，分解因式、極限運算、代數式化簡、公式靈活運用等問題都可以用“拆式”，平面解析幾何綜合問題可以用“拆圖”等等。這里不再一一舉例闡述。

由此可見，研究探索初等數學解題方法時，不論是代數問題，還是幾何問題，在熟悉數學基礎知識和掌握基本解題方法的基礎上，運用“拆解法”便于尋找解題思路、揭示隱含條件、抓住問題關鍵，易于化難為易、化繁為簡、分散難點，能使解題思路開闊、巧法頻生，醞釀出多種不同的解題策略和思路，具有舉一反三、觸類旁通、事半功倍之效。拆解法是解決一些數學難題以及快速解題的一種行之有效、可操作性強、應用范圍廣、具有啟發性的數學解題方法。若能熟練地運用這種方法，將會明顯地提高觀察、分析、發現、解決問題的能力。

參考文獻

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