“拆解法”及其在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

陳海濱

摘 要：從多年的數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的積累中，探索出一種數(shù)學(xué)解題方法—— 拆解法。利用拆數(shù)、拆式、拆角、拆圖等技巧揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的隱蔽關(guān)系，尋找解決問(wèn)題的隱含條件，為解決一些數(shù)學(xué)難題以及快速解題提供一種行之有效、應(yīng)用范圍廣、具有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)解題方法。在研究探索初等數(shù)學(xué)解題方法時(shí)，不論是代數(shù)問(wèn)題，還是幾何問(wèn)題，在熟悉數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和掌握基本解題方法的基礎(chǔ)上，運(yùn)用此法便于尋找解題思路、揭示隱含條件、抓住問(wèn)題關(guān)鍵，易于化難為易、化繁為簡(jiǎn)、分散難點(diǎn)，能使解題思路開(kāi)闊、巧法頻生，醞釀出多種不同的解題策略和思路，具有舉一反三、觸類旁通、事半功倍之效。若能熟練地運(yùn)用這種方法，將會(huì)明顯地提高觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題 拆解法 隱含條件 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）06（a）-0213-03

數(shù)學(xué)是在解決問(wèn)題中產(chǎn)生，并在解決各種問(wèn)題的過(guò)程中不斷發(fā)展起來(lái)的。正如美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾莫（Halmos）提出的那樣“數(shù)學(xué)的真正組成部分是問(wèn)題和解”。而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程往往是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的思維過(guò)程，沒(méi)有一個(gè)絕對(duì)的公式和方法，它不僅具有各種策略和途徑，而且它的規(guī)則與方法有一部分是“隱蔽”的，這正是數(shù)學(xué)魅力所在。一個(gè)數(shù)學(xué)題的解決是否正確、迅速、巧妙、合理，甚至具有創(chuàng)造性，往往就在于能否挖掘和利用好“隱蔽”部分，找出“隱含條件”。筆者經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐與研究探索出了一種全新的數(shù)學(xué)解題方法—— 拆解法。

1 “拆解法”的內(nèi)涵

1.1 背景與依據(jù)

背景：眾所周知，數(shù)學(xué)解題方法奧妙無(wú)窮，沒(méi)有一個(gè)絕對(duì)的公式和方法。筆者從教多年來(lái)，學(xué)生都在問(wèn)同一個(gè)問(wèn)題：有沒(méi)有一種通用的數(shù)學(xué)解題方法可以解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題。于是，筆者開(kāi)始思考能不能有一個(gè)相對(duì)應(yīng)用廣泛的方法與技巧可以解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)研究與探索，現(xiàn)在有了答案。

依據(jù)：方法論的基本原理和數(shù)學(xué)解題的基本思想、基本方法。

1.2 定義和特點(diǎn)

定義：所謂“拆解法”就是以數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論為切入點(diǎn)，通過(guò)觀察分析它們的結(jié)構(gòu)（圖形）特征，展開(kāi)聯(lián)想類比相關(guān)的已掌握的知識(shí)與方法，利用拆數(shù)、拆式、拆角、拆圖等技巧進(jìn)行猜想嘗試，揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的隱蔽關(guān)系，尋找隱含條件，搭建條件與結(jié)論的“橋梁”，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)解題方法。

特點(diǎn)：可操作性強(qiáng)、應(yīng)用范圍廣、具有啟發(fā)性。

1.3 方法與目的

方法：充分利用觀察分析法、聯(lián)想類比法與拆數(shù)、拆式、拆角、拆圖等技巧進(jìn)行猜想嘗試。

目的：揭示隱含條件、抓住問(wèn)題關(guān)鍵、開(kāi)闊解題視野、尋求解題思路；舉一反三、觸類旁通醞釀出多種不同的解題策略；化繁為簡(jiǎn)、化難為易、分散難點(diǎn)達(dá)到事半功倍之效。

1.4 適用原則與范圍

適用原則：在熟悉數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和掌握基本解題方法的基礎(chǔ)上運(yùn)用“拆解法”。

適用范圍：初等數(shù)學(xué)中的大多數(shù)問(wèn)題都適用，尤其適用于一些數(shù)學(xué)難題以及快速解題。

2 “拆解法”在代數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

在研究代數(shù)問(wèn)題時(shí)，往往探索解題途徑是最重要的和最困難的階段，總覺(jué)得有些問(wèn)題無(wú)從入手，找不到思路，抓不住解決問(wèn)題的關(guān)鍵。下面的技巧運(yùn)用會(huì)為解決這類問(wèn)題提供借鑒。

2.1 “拆數(shù)”技巧應(yīng)用舉例

在求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，特別是給出若干項(xiàng)的數(shù)列求通項(xiàng)公式是數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。若采用“拆數(shù)為數(shù)”的技巧，容易找到“隱含條件”，從而巧妙地解決這類問(wèn)題。

例1：求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

3 “拆解法”在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

在研究幾何問(wèn)題時(shí)，有許多方法為人所熟知和運(yùn)用。針對(duì)大多數(shù)幾何問(wèn)題都會(huì)給出幾何圖形，特別是較難問(wèn)題的圖形錯(cuò)綜復(fù)雜，令人眼花繚亂，無(wú)所適從。下面的技巧運(yùn)用會(huì)為解決這類問(wèn)題指明方向。

3.1 “拆圖”在平面幾何中應(yīng)用舉例

在平面幾何中，像比較復(fù)雜的存在性、開(kāi)放性、探究性和動(dòng)點(diǎn)等問(wèn)題，圖形紛繁復(fù)雜，結(jié)論不確定要探索，往往令人理不出頭緒，找不到問(wèn)題的關(guān)鍵所在。若采用由題意分段由簡(jiǎn)到繁逐步畫圖聯(lián)想類比相關(guān)的已掌握的知識(shí)與方法，對(duì)照給定的圖形進(jìn)行猜想嘗試的“拆圖”技巧，則可以快速找到“隱含條件”—— 不變量，搭建起條件與結(jié)論的“橋梁”，巧妙而迅速地解決問(wèn)題。

例6：已知P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP長(zhǎng)作正三角形△ACP、△BPD，連接AD、BC交于Q點(diǎn)，設(shè)∠AQC=，如圖1。問(wèn)：的度數(shù)是否會(huì)隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而改變，若不會(huì)，請(qǐng)證明。

分析：本題是探究性動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難度較大。若按常規(guī)直接觀察給定的圖1進(jìn)行審題，則很難找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵：∠PAD =∠PCB（不變量）?，F(xiàn)采用“拆圖”技巧，進(jìn)行如下分析：

（1）由題意逐步畫圖（盡量不看給定的圖形），聯(lián)想類比熟知的知識(shí)與方法：如圖2（1）。

3.2 “拆圖”在立體幾何中應(yīng)用舉例

在研究立體幾何問(wèn)題時(shí)，大多依據(jù)降維思想，化空間圖形問(wèn)題到平面圖形中去解決。像異面直線成角、線面成角、面面成角等都是轉(zhuǎn)為平面角去解決的。在具體解題時(shí)，對(duì)于一些較復(fù)雜的問(wèn)題，可參考“拆圖”技巧在平面幾何中的應(yīng)用；而針對(duì)有些很復(fù)雜的問(wèn)題，則可以采用由給定的圖形分段由繁到簡(jiǎn)逐步拆出簡(jiǎn)單的平面圖形聯(lián)想類比相關(guān)的平面幾何知識(shí)，對(duì)照給定的圖形進(jìn)行猜想嘗試的“拆圖”技巧。就容易找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵——“隱含條件”，搭建起條件與結(jié)論的“橋梁”，進(jìn)而解決問(wèn)題。

例7：如圖3，過(guò)四面體V—ABC的底面上任一點(diǎn)O，分別作OA1∥VA、OB1∥VB、OC1∥VC，其中A1、B1、C1分別是所作直線與側(cè)面的交點(diǎn)。求證：為定值。

分析：顯然，本題難度較大。若采用“拆圖”在平面幾何中應(yīng)用的技巧，則按題意很難畫出給定的復(fù)雜圖形進(jìn)行觀察分析。

若直接觀察給定的復(fù)雜圖形，則難以發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的關(guān)鍵—— 隱含條件。現(xiàn)在依據(jù)降維思想，從另一個(gè)角度采用“拆圖”技巧，即由給定的圖形分段逐步拆出簡(jiǎn)單的平面圖形，進(jìn)行猜想與嘗試，看能否解決問(wèn)題。

是底面△ABC中的“線段比例關(guān)系”，這樣，就將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)為平面問(wèn)題，只要能證明（2）為定值，則問(wèn)題得以解決。

（2）若直接觀察給定的圖形去尋找證明（2）為定值的途徑，則會(huì)被不必要的點(diǎn)、線、面及其關(guān)系干擾，難度大。繼續(xù)嘗試采用“拆圖”技巧，從給定的圖形中拆出底面△ABC，聯(lián)想類比平面幾何中證明“線段比例關(guān)系”的常用方法，不難想到，過(guò)點(diǎn)O作OD∥AC、OE∥BC，分別交AB于D、E兩點(diǎn)，如圖5。類似“1”中的方法可繼續(xù)“拆圖”，容易由“相似三角形和比例性質(zhì)”的相關(guān)知識(shí)，得，，

，等式兩邊分別相加得：，即。

拆解法不僅能解決類似上述一些較難問(wèn)題，而且還可以快速解決其它問(wèn)題。諸如，求值、求周期等三角函數(shù)問(wèn)題可以用“拆數(shù)”或“拆角”，分解因式、極限運(yùn)算、代數(shù)式化簡(jiǎn)、公式靈活運(yùn)用等問(wèn)題都可以用“拆式”，平面解析幾何綜合問(wèn)題可以用“拆圖”等等。這里不再一一舉例闡述。

由此可見(jiàn)，研究探索初等數(shù)學(xué)解題方法時(shí)，不論是代數(shù)問(wèn)題，還是幾何問(wèn)題，在熟悉數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和掌握基本解題方法的基礎(chǔ)上，運(yùn)用“拆解法”便于尋找解題思路、揭示隱含條件、抓住問(wèn)題關(guān)鍵，易于化難為易、化繁為簡(jiǎn)、分散難點(diǎn)，能使解題思路開(kāi)闊、巧法頻生，醞釀出多種不同的解題策略和思路，具有舉一反三、觸類旁通、事半功倍之效。拆解法是解決一些數(shù)學(xué)難題以及快速解題的一種行之有效、可操作性強(qiáng)、應(yīng)用范圍廣、具有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)解題方法。若能熟練地運(yùn)用這種方法，將會(huì)明顯地提高觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)

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